用函数极限的定义证明lim(x趋于-2) x 2 = 4。

要制作| x 2-4 |

而当x接近2时，如| x-2 | < 1，则1

此时，令| x-2 | * | x+2 | <ε，只要| x-2 | <ε/5；

对|x-2|有两个限制:| x-2 |

所以delta = min {1，epsilon/5} > 0就可以了。

以下是综合证明:

对于任何ε& gt；0，取delta = min {1，ε/5 } > 0，

当| x-2 |

因此| x ^ 2-4 | = | x-2 | * | x+2 | < 5 * delta & lt；希腊语字母之第五字

根据函数极限的定义，这表明lim { x->；2}x^2=4.

证明x逼近和2 lim×2 = 4对任意正数ε& gt；0，取δ=min(ε，1)，

那么当| x-2 | < δ时，也就是2-δ

所以lim (x→ 2) x 2 = 4。

用极限定义证明lim(x趋近于2) x 2 = 4。方法1

lim(x->；2)(x^2-4)= lim(x-& gt；2)(x ^ 2)*(x-2)

因为x 2和x-2在x->；2连续，所以lim(x-> 2)(x ^ 2)*(x-2)= lim(x-& gt；2)(x ^ 2)* lim(x->；2)(x-2)=(2 ^ 2)*(2-2)= 0

所以lim(x->；2) (x^2 - 4) = 0

即当x接近2时，x 2的极限等于4。

方法2

证明:一、极限1

对于任何ε& gt；0，取δ=min{ε/5，1}

那么当0

|x？-2?| = | x ^ 2 | | x-2 | & lt；5 | x-2 | & lt；ε

成立。所以lim(x趋近于2) x 2 = 4。

用函数极限的定义证明lim(x趋于t)cosx=cost。证明极限都是用格式写的，就像画葫芦一样。

证明任何给定的ε& gt；0，以使

| cosx-cost | = |-2 sin[(x-t)/2]sin[(x+t)/2]| & lt；= | x-t | & lt；ε,

就取δ=δ(ε)=ε>；0，那么当0

| cosx-cost | & lt；= | x-t | & lt；δ = ε,

根据极限的定义，可以证明。

用函数极限的定义证明lim (x→ -∞) 3x 2-1/x 2+3 = 3:对任意ε>证明；0，求解不等式

│(3x^2-1)/(x^2+3)-3│=10/(x^2+3)≤10/x^2<；ε

获取x

因此，对于任何ε>；0，总有一个正数A≥√(10/ε)，当x

即lim(x->；-∞)[(3x^2-1)/(x^2+3)]=3。

证明lim(x→2)(1/x-1)= 1 | 1/(x-1)-1 | = |(x-2)/(x

取任意正数0

可以适当| x-2 | <当δ=ε/2，x-1 ∈ (-ε/2+1，ε/2+1)。

由ε < 1/5，-ε/2 >；-1/10，-ε/2+1 & gt；9/10，所以x-1 & gt；9/10，1/| x-1 | & lt；10/9<2

|(x-2)/(x-1)| = |(x-2)|/|(x-1)| < 2 | x-2 | & lt；2*δ=ε，即| (x-2)/(x-1) | < ε

根据ε的任意性，lim[1/(x-1)](x→2)= 1。

命题的证明

用函数极限的定义证明下列极限lim(x→∞)arctanx/x？=o当x→∞，arctanx→π/2，x？→∞常数/∞=0。所以lim(x→∞)arctanx/x？=o

根据函数极限的定义，证明了当| x-1 | <在1处，有| x+1 | < 3，

对于任意正数ε > 0，取δ = min (ε/3，1)，那么当| x-1 | <δ时，

有| x ^ 2-1 | = | x+1 | * | x-1 | < 3 *ε/3 =ε，

所以lim(x->；1) (x^2-1) = 0。

极限定义证明lim ln(1+ 1/x)=0 x趋于无穷大。第一，当x >；0，1/x >；0.

对于任何ε& gt；0，x >存在；1/ε，这使得1/x

所以1/x的极限是0，当x趋于无穷大时。

根据函数极限的定义，证明了lim(x ~ 1)x2-3x+2/(x _ 1)=-1 lim(x ~ 1)x2-3x+2/(x-65438+)