几何级数和算术级数的综合问题

上一期和大家分享了等差数列中前n项的最大和。众所周知，有两个特殊的数列:等差数列和等比数列。那么这两个系列合起来会出现什么样的问题呢？这一期会给你带来几个这样的问题。

让我们看看下面这个问题

虽然这是一个几何级数，但是它使用了一个叫做算术平均的概念。

利用几何级数的性质，将所有项用a2和Q表示，同时将a2从等号两边去掉，就可以得到一个关于Q的一元二次方程。

解这个方程，由于所有的项都是正的，我们可以通过丢弃负值得到最终的答案。

算术和比，两个特殊的数列，取对数或指数幂可以互相转化。所以有时候几何级数的题目会结合对数运算的性质来考查，比如下面这个问题。

基数相同的对数相加，基数不变，实数相乘。

根据等比例项的性质，前五项的乘积只与第三项有关。最后结合对数算法，可以得到最终答案

最后我们来看一道这样的题，是江苏宿迁2021的期末考试题。

我们需要根据已知条件求数列{an}的通项公式。

最后把an变成以2为底的指数幂，方便我们进一步观察下一步怎么做。

我们要求的是数列{an}的前n项乘积的最大值，an是以2为底的指数幂，而同底幂相乘，底不变指数相加，最终转化为等差数列前n项之和的最大值问题。

如何得到这个等差数列{bn}？很简单，取an的对数以2为底就可以了。

看看小伙伴们对上一期内容的掌握程度如何。大家还记得求算术级数前n项和最佳值的两种方法吗？这里我们用二次函数的方法求前n项和Sn。

然后判断开口方向和对称轴，就可以得到Sn的最大值。注意n是正整数。

最后，设数列{an}的前n项的乘积为t n，可以得到Tn与Sn的关系，这样就可以由Sn的最大值得到Tn的最大值。