数学陇东地区中学入学考试试卷

一、等腰(边)三角形问题:

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例1: (2012，广西崇左，10)如图所示，抛物线(a≠0)的顶点坐标为点(-2，3)，抛物线与Y轴相交于点B (0，2)。(1)求抛物线。(2)X轴上是否有点P使△PAB成为等腰三角形，如果有，请求点P的坐标；如果不存在，请说明原因；

(3)若P点是X轴上的任意一点，求PA-Pb最大时P点的坐标。

例2: (2012，辽宁朝阳，14)已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在X轴上，直角顶点A在Y轴的正半轴上，A (0，2)和B (-1，0)。

(1)求C点的坐标；(2)求抛物线过A、B、C点的解析式和对称轴；

(3)设点P(m，n)为抛物线在第一象限的点，△PAC的面积为S，求S与M的函数关系，求S最大的点P的坐标；

(4)抛物线对称轴上是否存在这样一个点m使得△MPC(P是上述问题(3)中S最大的点)是等腰三角形？如果存在，请直接写出m点的坐标；如果不存在，请说明原因。

例3: (2012山东临沂13)如图，A点在X轴上，OA=4。绕O点顺时针旋转线段OA 120至OB位置。(1)求B点的坐标；(2)求抛物线过A、O、B点的解析式；

(3)这条抛物线的对称轴上是否有点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，求p点的坐标；如果不存在，说明原因。

例4: (2012，内蒙古包头，12)已知直线y = 2x+4分别与X轴和Y轴相交于A点和D点，抛物线经过A点和D点，B点是抛物线与X轴的另一交点。

(1)求这条抛物线的解析表达式和B点的坐标；

(2)设定点m是直线AD上一点，求点m的坐标；

(3)如果点C(2，Y)在这条抛物线上，是否有点P在Y轴的正半轴上，使得△BCP是等腰三角形？如果存在，请求点P的坐标；如果不存在，请说明原因。

例5: (2012，福建龙岩，14)在平面直角坐标系xoy中，如图放置一个60度角的三角形平板，斜边AB在X轴上，直角顶点C在Y轴的正半轴上，已知点A (-1，0)。

(1)请直接写出B点和C点的坐标:B(，)，C(，)；并求过a、b、c三点的抛物线解析式；

(2)已有的三角形DEF(其中∠ edF = 90，∠ DEF = 60)与上述三角形完全相同，顶点E放在线段AB上(E点是与A、B点不重合的动点)，ED所在的直线经过c点，此时EF所在的直线等于(1)。

(1)设AE=x，当x是什么值时，△oce∽△obc；

②在①的条件下探究抛物线对称轴上是否有点P使△PEM成为等腰三角形，如果有，求点P的坐标；如果不存在，请说明原因。

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1.(2012广西百色10)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y = AX2+BX+6经过A点(-3，0)和B点(2，0)。直线y=h(h (h是常数，0 < h < 6。

(2)连接BE，求H值时，△BDE的面积最大；

(3)已知某点M (-2，0)。问:有没有这样一条直线Y = H使得△OMF是等腰三角形？如果有，求H的值和g点的坐标；如果不存在，请说明原因。

y=h

2.(2012江西省10分)如图所示，已知二次函数L1: y = x2-4x+3与X轴相交于A、B两点(A点在B点左侧)与Y轴相交于c点(1)写两次。

(2)研究二次函数L2: y = kx2-4kx+3k (k ≠ 0)。

(1)写出与二次函数L2和二次函数L1有关的图象的两个相同性质；

②有没有一个实数k使△ABP成为等边三角形？如果存在，请求k的值；如果不存在，请说明原因；③若直线y=8k与抛物线L2相交于E点和F点，线段EF的长度是否变化？如果没有，请求EF的长度；如果有，请说明原因。

3.(2012湖南衡阳10分钟)如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A和D在抛物线上，AD与X轴平行，与Y轴相交于F点，AB的中点E在X轴上，B点的坐标为(2，1)，P点(A)。

(1)求这条抛物线的解析表达式。(2)交点P为CB所在直线的垂线，垂足为r点①验证:PF = PR②是否存在使△PFR成为等边三角形的点p？如果存在，求P点的坐标；如果不存在，请说明原因；③将PF的相交抛物线延伸到另一点Q，过Q为BC的垂线，垂足为s，试判断△RSF的形状。

4.(2012，湖南永州，10)如图所示，已知二次函数Y = AX2+BX-1 (A ≠ 0)的图像通过点A (2，0)和B (4，3)，L为通过点(0)。

(1)求二次函数y = AX2+Bx-1 (a ≠ 0)的解析式；(2)请直接写出对应X使y < 0的取值范围；(3)当m=0，m=2，m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值，观察规律，猜测一个结论，证明这个结论对任意实数m成立；

(4)有没有一个实数m能使△POH成为正三角形？如果存在，求m的值；如果不存在，请说明原因。

5.(2012广东梅州11)如图所示，在直角OABC A(6，0)，C (0，2)，D (0，3)中，光线L通过D点并与X轴平行，P点和Q点分别是L和X轴正半轴上的动点。

(1)①B点坐标为；②∠CAO=度；③当Q点与A点重合时，P点的坐标为:(直接写答案)

(2)设OA的中心为n，PQ与线段AC相交于点m，是否有点p使△AMN成为等腰三角形？如果存在，请直接写P点横坐标为m；如果不存在，请说明原因。

(3)设点P的横坐标为X，△OPQ与直角OABC的重叠面积为S，试求S与X的函数关系及对应自变量X的取值范围.

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例1: (2012山东枣庄10)在平面直角坐标系中，现在把一个等腰直角三角形ABC放在第二象限并斜倚。

在两个坐标轴上，C点是(-1，0)。如图，B点在抛物线Y = x2+x-2图像上，它经过B点。

BD⊥x轴，竖脚是d，b点的横坐标是-3。

(1)验证:△BDC≔△COA；

(2)求BC所在线的函数关系；

(3)抛物线对称轴上是否有点P，使得△ACP是以AC为右边的直角三角形？如果它存在，找出它是什么

用一个小p坐标；如果不存在，请说明原因。

例2: (2012重庆12)已知，如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°，AD=2，BC=6，AB = 3。e是BC边上的一点，以BE为边做一个正方形BEFG。

(1)求正方形的顶点f刚好落在对角线AC上时BE的长度；

(2)将问题中的正方形B’EFG(1)沿BC向右平移，注意平移中的正方形BEFC是正方形B’EFG，当E点与c点重合时停止平移，设平移距离为t，正方形B’EFG的边EF与AC在M点相交，连接B’D，B’M，DM。有没有这样一个t，使得△如果存在，求t的值；如果不存在，请说明原因；

(3)在问题(2)的平移过程中，设平方B'EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与T的函数关系及自变量T的取值范围.

例3: (2012，内蒙古赤峰，12)如图，抛物线与X轴相交于A、B两点(A点在B点左侧)，与Y轴相交于C点，C、F点关于抛物线对称，直线AF与Y轴相交于E点，| oc |: | OA | = 5: 65438。

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线AF的解析式；

(3)直线AF上是否有点p，使得△CFP是直角三角形？如果存在，找出P点的坐标；如果不存在，说明原因。

例4: (2012海南省13)如图所示，一个顶点为P(4，-4)的二次函数图像通过原点(0，0)，A点在图像上。

OA在点m处与其对称轴相交，点m和n关于点p对称，连接an和on。

(1)求这个二次函数的关系。

(2)若A点坐标为(6，-3)，求△ANO的面积。

(3)当A点在对称轴右侧的二次函数图像上运动时，请回答以下问题:

①证明:∠ANM=∠ONM

②△②△ANO可以是直角三角形吗？如果是，请求所有合格点A的坐标，如果不是，请说明原因。

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1.(2012，广西河池12)如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC，以中垂线和BC为底。

在直线上建立平面直角坐标系，抛物线过A点和b点.

(1)写出A点和B点的坐标；

(2)如果与Y轴重合的直线L以每秒2个单位长度的速度向右移动，则线段OA、CA和抛物线分别相交。

该线在点E、M和P处，连接PA和PB。设直线L的移动时间为t (0 < t < 4)秒，求四边形PBCA的面积s(面积单位)与t(秒)的函数关系，求四边形PBCA的最大面积。

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否有一点P使△PAM成为直角三角形？如果存在，请求点p。

的坐标；如果不存在，请说明原因。

2: (2012，湖南邵阳，12)如图，直线在A点(4，0)与X轴相交，在b点与Y轴相交，沿Y轴折叠△AOB使A点落在X轴上，A点对应的点为c点.

(1)求c点的坐标；

⑵设点P为线段CA上的动点，与点A、C不重合，连接PB，以点P为端点使射线PM与AB相交于点M，则∠BPM=∠BAC①可证:△PBC∠△MPa；

②有没有一个点P使△PBM成为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；如果不存在，请说明原因。

3.(2012，云南省，9分)如图所示，在平面直角坐标系中，直线与X轴相交于P点，与Y轴相交于A点，抛物线像过E点(-1，0)，与直线相交于A点和b点.

(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)过a点，使AC⊥AB在c点过x轴，求c点的坐标；

(3)坐标轴上除了C点还有M点吗，这样△MAB就是直角三角形？如果存在，请求点m的坐标；如果不存在，请说明原因。

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例1: (2012山西省14)综合与练习:如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于a、b两点，与y轴相交于c点，d点为抛物线的顶点。

(1)求直线AC和B.D .两点坐标的解析式；

(2)点P是X轴上的一个移动点，直线l∑AC在点Q处与抛物线相交，试探究:随着点P的移动，抛物线上是否存在点Q，使得以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出合格点q的坐标；如果不存在，请说明原因。

(3)请在直线AC上求一点M，使△BDM的周长最小，求点M的坐标.

例二:(2012山东日照10)如图所示，二次函数y = x2+bx+c的图像与X轴相交于A点和B点，A点的坐标为

(-3，0)，一条通过B点的直线与一条抛物线相交于D点(-2，3)。

(1)求抛物线和直线BD的解析表达式；

(2)在X轴上通过点E(a，0)的直线EF∨BD(点E在点B的右侧)与一条抛物线在点F相交，是否存在实数A使四边形BDFE成为平行四边形？如果存在，查找符合条件的；如果不存在，请说明原因。

例3: (2012广西北海12)如图所示，平面直角坐标系中有Rt△AB=AC，∠A = 90°，AB=AC，A (-2，0)，B (0，1)，C (d，2)。

(1)求d的值；

(2)沿X轴正方向平移△ABC，第一象限B点和C点对应的B '点和C '点正好落在一个反比例函数图像上。求此时此反比例函数和直线B'C '的解析表达式；

(3)在(2)的条件下，直线B'C '与Y轴相交于点g，问是否存在X轴上的点M和反比例函数图像上的点P使得四边形PGMC '为平行四边形。如果是，请求点M和点P的坐标；如果不存在，请说明原因。

例4: (2012，辽宁丹东，14)已知抛物线与Y轴相交于C点，与X轴相交于A点和b点，A点坐标为(-1，0)，O为坐标原点，和。

(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出直线BC的函数表达式；

(3)如图1，D是Y轴负半轴上的一点，OD=2。做一个边长为外径的正方形ODEF。以每秒1个单位的速度沿X轴的正方向移动方形ODEF。运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为S，运动时间为t秒(0 < t ≤ 2。

发现:①s与t的函数关系；

②运动时S有最大值吗？如果存在，直接写这个最大值；如果不存在，请说明原因。

(4)如图2所示，点P(1，k)在直线BC上，点M在X轴上，点N在抛物线上。有顶点为A，M，N，P的平行四边形吗？如果存在，请直接写下m点的坐标；如果不存在，请说明原因。

例5: (2012黑龙江黑河，齐齐哈尔，大兴安岭，鸡西10)如图所示，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A和08分别在Y轴和X轴上，OA和OB的长度为方程X2-7x+12 = 0 (0)中的两条。0B)，移动点P从A点开始，在线段AO上以每秒L个单位长度的速度移动到点O；同时，移动点Q从B点出发，在线BA上以每秒2个单位长度的速度移动到点A，P点和Q点的移动时间为t秒。

(1)求A点和b点的坐标(2)当t是什么值时，△APQ类似于△AOB，直接写出此时Q点的坐标。

(3)当t=2时，坐标平面中是否存在点M，使得顶点为A、P、Q、M的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出M点的坐标；如果不存在，请说明原因。

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1.(2012，贵州安顺，14分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直角OABC的边长OA和OC分别为12cm和6cm，A点和C点分别在Y轴的负半轴和X轴的正半轴上，抛物线Y = AX2+BX+。

(1)求抛物线的解析式。

(2)如果P点从A点出发，以1cm/s的速度沿AB侧移动到终点B，Q点从B点出发，以2cm/s的速度沿BC侧移动到终点c .

①在运动后的第T秒，设△PBQ的面积为S，试写出S与T的函数关系，写出T的取值范围.

②当S达到最大值时，抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求r点的坐标；如果不存在，请说明原因。

2.(2012，湖北恩施，8分)如图所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一条直线相交于两点A (﹣ 1，0)和C (2，3)，与y轴相交于n点，其顶点为D. (65433)

(2)设定点M(3，M)求MN+MD的值最小时M的值；

(3)若抛物线对称轴与直线AC相交于B点，E为直线AC上的任意一点，过点E为EF∨BD且抛物线与F点相交，则以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？如果有，求e点的坐标；如果没有，请说明原因；(4)若P为直线AC上方抛物线上的动点，求△APC的最大面积。

3.(2012四川宜宾10)如图所示，抛物线y = x2-2x+c的顶点A在直线l: y = x-5上。

(1)求抛物线顶点A的坐标；

(2)设抛物线在B点与Y轴相交，在C点与X轴相交. D(C点在D点的左边)，试判断△ABD的形状；

(3)直线L上是否有点P，使得以点P和A.B.D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求p点的坐标；如果不存在，请说明原因。

4.(2012湖南娄底10)已知二次函数y = x2-(m2-2) x-2m的图像与X轴相交于点A (x1，0)和B (x2，0)，x660。

(1)求这个二次函数的解析表达式；

(2)探究:直线y=x+3上是否存在点P，使得四边形PACB为平行四边形？如果是，求p点的坐标；如果没有，请说明原因。

第四，长方形、菱形、正方形都有问题；

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例1: (BC=12黑龙江陇东地区10)如图所示，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC和OA分别与X轴和Y轴重合，AB∥OC，∠ AOC = 90，∠ BCO = 40。

(2)若直线DE与梯形对角线BO相交于D点，与Y轴相交于E点，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；(3)如果点P是(2)中直线DE上的动点，那么坐标平面上是否存在点Q，使得顶点为O、E、P、Q的四边形是菱形？如果存在，请直接写出q点的坐标；如果不存在，请说明原因。

例二:(2012，贵州六盘水，16)如图1所示，已知在△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC = 6 cm。如果点P从B出发沿BA方向匀速运动，点Q从A出发沿AC方向匀速运动到点C，

(1)当t是什么值时，PQ∑BC。

(2)设△AQP的面积为S(单位:cm2)，当t为什么值时，S取最大值，求最大值。

(3)是否存在一个时刻t，使直线PQ恰好平分△ABC的面积？如果存在，求此时t的值；如果不存在，请说明原因。(4)如图2所示，将△AQP沿AP折叠，得到四边形AQPQ’。那么，有没有一个时间t使得四边形AQPQ '成为菱形呢？如果存在，找出此时钻石的面积；如果不存在，请说明原因。

例3: (2012辽宁铁岭14)如图所示，已知抛物线经过原点O和X轴上的一点A (4，0)，抛物线的顶点为E，

其对称轴与X轴相交于d点，直线经过抛物线上的一点B (-2，m)与Y轴相交于C点，与抛物线相交。

对称轴与f点相交。

(1)求m的值和抛物线对应的解析式；

(2)P是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，则求所有合格点P的坐标；

(3)点Q是平面上的任意一点，点M从点F出发，沿对称轴以每秒1个单位长度的匀速运动。如果M点的运动时间为t秒，那么Q，A，E，M四个顶点的四边形可以做成菱形吗？如果有，请直接写出M点的运动时间t的值；如果没有，请说明原因。

备用图表

例4: (2012，福建漳州12)已知抛物线y= x2+1(如图)。

(1)填空:抛物线的顶点坐标为(_ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _)，对称轴为_ _ _ _ _ _ _ _；

(2)已知y轴上的点A (0，2)，点p在一条抛物线上，过点p为PB⊥x轴，垂足为b，若△PAB为等边三角形，求点p的坐标；

(3)在(2)的条件下，点M在直线AP上。平面上是否有一个点N，使得四边形OAMN成为菱形？如果存在，直接写出满足条件的所有点n的坐标；如果不存在，请说明原因。

例5: (2012，内蒙古通辽12)如图所示，在平面直角坐标系中，一个正方形ABCD放在第一象限，斜靠在两个坐标轴上，点A (0，2)，点B (1，0)，抛物线Y = AX2-AX。

(1)求C点的坐标；(2)求抛物线的解析式；版权归金元数学工作室所有，不得转载。

(3)抛物线上有P点和Q点(C点和D点除外)使四边形ABPQ为正方形吗？如果求P点和Q点有两个坐标，如果没有，说明原因。

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1.(2012山东烟台12分钟)如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点:B (1，0)，C (3，0)，D (3，4)。有顶点的抛物线是Y = AX2+。

(1)直接写出A点的坐标，求抛物线的解析式；

(2)若交点e是f处的EF⊥AD，g点的抛物线，t的值是多少，△ACG的面积最大？最大值是多少？(3)在移动点P和Q的过程中，当T的值是什么时，在矩形ABCD(包括边界)中有一个点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？请直接写出t的值。

2.(2012，福建福州，13)如图1所示，在Rt△ABC中，∠ c = 90？，AC = 6，BC = 8，移动点P以每秒1个单位长度的速度从A点沿AC移动到C点，移动点Q以每秒2个单位长度的速度从C点沿CB移动到B点，交点P为PD∑BC，交点AB连接PQ。P点和Q点分别同时从A点和C点出发，当

(1)直接用一个代数表达式t表示:QB = _ _ _ _ _ _，PD = _ _ _ _ _ _。

(2)是否存在使四边形PDBQ成为菱形的t值？如果存在，求t的值；如果不存在，说明原因，并探讨如何改变Q点(匀速运动)的速度使四边形PDBQ在某一时刻呈菱形，求Q点的速度；(3)如图②所示，在整个运动过程中，求线段PQ的中点m的路径长度。

3.(2012，辽宁锦州，14分钟)如图，抛物线与轴相交于C点，直线L为抛物线对称轴，P点在第三象限，为抛物线的顶点。从p到轴的距离是1。C点关于直线L的对称点是A，它连接AC相交直线L和b .

(1)求抛物线的表达式；版权归金元数学工作室所有，不得转载。

(2)直线在点D处与抛物线相交，在点F处与轴相交，并在第一象限中的点E处连接BD，以及

DE:BE=4:1。求直线的表达式；

(3)若N是平面直角坐标系中的一点，直线上是否有一点M，使得点O，F，M，N为

顶点的四边形是菱形？如果存在，直接写出点m的坐标；如果不存在，请说明原因。

4.(2012青海省12)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与X轴相交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标在(3，0)处，与Y轴相交于C点(0，

(2)连接PO和PC，沿Co折叠△POC得到四边形POP'C，那么是否有一个点P使四边形POP'C成为菱形？如果是，请求P点此时的坐标；如果不存在，请说明原因。

(3)当点P移动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，求出点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。