数学陇东地区中学入学考试试卷

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一、等腰(边)三角形问题:

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例1: (2012,广西崇左,10)如图所示,抛物线(a≠0)的顶点坐标为点(-2,3),抛物线与Y轴相交于点B (0,2)。(1)求抛物线。(2)X轴上是否有点P使△PAB成为等腰三角形,如果有,请求点P的坐标;如果不存在,请说明原因;

(3)若P点是X轴上的任意一点,求PA-Pb最大时P点的坐标。

例2: (2012,辽宁朝阳,14)已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在X轴上,直角顶点A在Y轴的正半轴上,A (0,2)和B (-1,0)。

(1)求C点的坐标;(2)求抛物线过A、B、C点的解析式和对称轴;

(3)设点P(m,n)为抛物线在第一象限的点,△PAC的面积为S,求S与M的函数关系,求S最大的点P的坐标;

(4)抛物线对称轴上是否存在这样一个点m使得△MPC(P是上述问题(3)中S最大的点)是等腰三角形?如果存在,请直接写出m点的坐标;如果不存在,请说明原因。

例3: (2012山东临沂13)如图,A点在X轴上,OA=4。绕O点顺时针旋转线段OA 120至OB位置。(1)求B点的坐标;(2)求抛物线过A、O、B点的解析式;

(3)这条抛物线的对称轴上是否有点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?如果存在,求p点的坐标;如果不存在,说明原因。

例4: (2012,内蒙古包头,12)已知直线y = 2x+4分别与X轴和Y轴相交于A点和D点,抛物线经过A点和D点,B点是抛物线与X轴的另一交点。

(1)求这条抛物线的解析表达式和B点的坐标;

(2)设定点m是直线AD上一点,求点m的坐标;

(3)如果点C(2,Y)在这条抛物线上,是否有点P在Y轴的正半轴上,使得△BCP是等腰三角形?如果存在,请求点P的坐标;如果不存在,请说明原因。

例5: (2012,福建龙岩,14)在平面直角坐标系xoy中,如图放置一个60度角的三角形平板,斜边AB在X轴上,直角顶点C在Y轴的正半轴上,已知点A (-1,0)。

(1)请直接写出B点和C点的坐标:B(,),C(,);并求过a、b、c三点的抛物线解析式;

(2)已有的三角形DEF(其中∠ edF = 90,∠ DEF = 60)与上述三角形完全相同,顶点E放在线段AB上(E点是与A、B点不重合的动点),ED所在的直线经过c点,此时EF所在的直线等于(1)。

(1)设AE=x,当x是什么值时,△oce∽△obc;

②在①的条件下探究抛物线对称轴上是否有点P使△PEM成为等腰三角形,如果有,求点P的坐标;如果不存在,请说明原因。

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1.(2012广西百色10)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y = AX2+BX+6经过A点(-3,0)和B点(2,0)。直线y=h(h (h是常数,0 < h < 6。

(2)连接BE,求H值时,△BDE的面积最大;

(3)已知某点M (-2,0)。问:有没有这样一条直线Y = H使得△OMF是等腰三角形?如果有,求H的值和g点的坐标;如果不存在,请说明原因。

y=h

2.(2012江西省10分)如图所示,已知二次函数L1: y = x2-4x+3与X轴相交于A、B两点(A点在B点左侧)与Y轴相交于c点(1)写两次。

(2)研究二次函数L2: y = kx2-4kx+3k (k ≠ 0)。

(1)写出与二次函数L2和二次函数L1有关的图象的两个相同性质;

②有没有一个实数k使△ABP成为等边三角形?如果存在,请求k的值;如果不存在,请说明原因;③若直线y=8k与抛物线L2相交于E点和F点,线段EF的长度是否变化?如果没有,请求EF的长度;如果有,请说明原因。

3.(2012湖南衡阳10分钟)如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A和D在抛物线上,AD与X轴平行,与Y轴相交于F点,AB的中点E在X轴上,B点的坐标为(2,1),P点(A)。

(1)求这条抛物线的解析表达式。(2)交点P为CB所在直线的垂线,垂足为r点①验证:PF = PR②是否存在使△PFR成为等边三角形的点p?如果存在,求P点的坐标;如果不存在,请说明原因;③将PF的相交抛物线延伸到另一点Q,过Q为BC的垂线,垂足为s,试判断△RSF的形状。

4.(2012,湖南永州,10)如图所示,已知二次函数Y = AX2+BX-1 (A ≠ 0)的图像通过点A (2,0)和B (4,3),L为通过点(0)。

(1)求二次函数y = AX2+Bx-1 (a ≠ 0)的解析式;(2)请直接写出对应X使y < 0的取值范围;(3)当m=0,m=2,m=4时,分别计算|PO|2和|PH|2的值,观察规律,猜测一个结论,证明这个结论对任意实数m成立;

(4)有没有一个实数m能使△POH成为正三角形?如果存在,求m的值;如果不存在,请说明原因。

5.(2012广东梅州11)如图所示,在直角OABC A(6,0),C (0,2),D (0,3)中,光线L通过D点并与X轴平行,P点和Q点分别是L和X轴正半轴上的动点。

(1)①B点坐标为;②∠CAO=度;③当Q点与A点重合时,P点的坐标为:(直接写答案)

(2)设OA的中心为n,PQ与线段AC相交于点m,是否有点p使△AMN成为等腰三角形?如果存在,请直接写P点横坐标为m;如果不存在,请说明原因。

(3)设点P的横坐标为X,△OPQ与直角OABC的重叠面积为S,试求S与X的函数关系及对应自变量X的取值范围.

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例1: (2012山东枣庄10)在平面直角坐标系中,现在把一个等腰直角三角形ABC放在第二象限并斜倚。

在两个坐标轴上,C点是(-1,0)。如图,B点在抛物线Y = x2+x-2图像上,它经过B点。

BD⊥x轴,竖脚是d,b点的横坐标是-3。

(1)验证:△BDC≔△COA;

(2)求BC所在线的函数关系;

(3)抛物线对称轴上是否有点P,使得△ACP是以AC为右边的直角三角形?如果它存在,找出它是什么

用一个小p坐标;如果不存在,请说明原因。

例2: (2012重庆12)已知,如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B = 90°,AD=2,BC=6,AB = 3。e是BC边上的一点,以BE为边做一个正方形BEFG。

(1)求正方形的顶点f刚好落在对角线AC上时BE的长度;

(2)将问题中的正方形B’EFG(1)沿BC向右平移,注意平移中的正方形BEFC是正方形B’EFG,当E点与c点重合时停止平移,设平移距离为t,正方形B’EFG的边EF与AC在M点相交,连接B’D,B’M,DM。有没有这样一个t,使得△如果存在,求t的值;如果不存在,请说明原因;

(3)在问题(2)的平移过程中,设平方B'EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与T的函数关系及自变量T的取值范围.

例3: (2012,内蒙古赤峰,12)如图,抛物线与X轴相交于A、B两点(A点在B点左侧),与Y轴相交于C点,C、F点关于抛物线对称,直线AF与Y轴相交于E点,| oc |: | OA | = 5: 65438。

(1)求抛物线的解析式;

(2)求直线AF的解析式;

(3)直线AF上是否有点p,使得△CFP是直角三角形?如果存在,找出P点的坐标;如果不存在,说明原因。

例4: (2012海南省13)如图所示,一个顶点为P(4,-4)的二次函数图像通过原点(0,0),A点在图像上。

OA在点m处与其对称轴相交,点m和n关于点p对称,连接an和on。

(1)求这个二次函数的关系。

(2)若A点坐标为(6,-3),求△ANO的面积。

(3)当A点在对称轴右侧的二次函数图像上运动时,请回答以下问题:

①证明:∠ANM=∠ONM

②△②△ANO可以是直角三角形吗?如果是,请求所有合格点A的坐标,如果不是,请说明原因。

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1.(2012,广西河池12)如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,以中垂线和BC为底。

在直线上建立平面直角坐标系,抛物线过A点和b点.

(1)写出A点和B点的坐标;

(2)如果与Y轴重合的直线L以每秒2个单位长度的速度向右移动,则线段OA、CA和抛物线分别相交。

该线在点E、M和P处,连接PA和PB。设直线L的移动时间为t (0 < t < 4)秒,求四边形PBCA的面积s(面积单位)与t(秒)的函数关系,求四边形PBCA的最大面积。

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否有一点P使△PAM成为直角三角形?如果存在,请求点p。

的坐标;如果不存在,请说明原因。

2: (2012,湖南邵阳,12)如图,直线在A点(4,0)与X轴相交,在b点与Y轴相交,沿Y轴折叠△AOB使A点落在X轴上,A点对应的点为c点.

(1)求c点的坐标;

⑵设点P为线段CA上的动点,与点A、C不重合,连接PB,以点P为端点使射线PM与AB相交于点M,则∠BPM=∠BAC①可证:△PBC∠△MPa;

②有没有一个点P使△PBM成为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;如果不存在,请说明原因。

3.(2012,云南省,9分)如图所示,在平面直角坐标系中,直线与X轴相交于P点,与Y轴相交于A点,抛物线像过E点(-1,0),与直线相交于A点和b点.

(1)求抛物线的解析式(关系式);(2)过a点,使AC⊥AB在c点过x轴,求c点的坐标;

(3)坐标轴上除了C点还有M点吗,这样△MAB就是直角三角形?如果存在,请求点m的坐标;如果不存在,请说明原因。

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例1: (2012山西省14)综合与练习:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于a、b两点,与y轴相交于c点,d点为抛物线的顶点。

(1)求直线AC和B.D .两点坐标的解析式;

(2)点P是X轴上的一个移动点,直线l∑AC在点Q处与抛物线相交,试探究:随着点P的移动,抛物线上是否存在点Q,使得以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形?如果存在,请直接写出合格点q的坐标;如果不存在,请说明原因。

(3)请在直线AC上求一点M,使△BDM的周长最小,求点M的坐标.

例二:(2012山东日照10)如图所示,二次函数y = x2+bx+c的图像与X轴相交于A点和B点,A点的坐标为

(-3,0),一条通过B点的直线与一条抛物线相交于D点(-2,3)。

(1)求抛物线和直线BD的解析表达式;

(2)在X轴上通过点E(a,0)的直线EF∨BD(点E在点B的右侧)与一条抛物线在点F相交,是否存在实数A使四边形BDFE成为平行四边形?如果存在,查找符合条件的;如果不存在,请说明原因。

例3: (2012广西北海12)如图所示,平面直角坐标系中有Rt△AB=AC,∠A = 90°,AB=AC,A (-2,0),B (0,1),C (d,2)。

(1)求d的值;

(2)沿X轴正方向平移△ABC,第一象限B点和C点对应的B '点和C '点正好落在一个反比例函数图像上。求此时此反比例函数和直线B'C '的解析表达式;

(3)在(2)的条件下,直线B'C '与Y轴相交于点g,问是否存在X轴上的点M和反比例函数图像上的点P使得四边形PGMC '为平行四边形。如果是,请求点M和点P的坐标;如果不存在,请说明原因。

例4: (2012,辽宁丹东,14)已知抛物线与Y轴相交于C点,与X轴相交于A点和b点,A点坐标为(-1,0),O为坐标原点,和。

(1)求抛物线的函数表达式;(2)直接写出直线BC的函数表达式;

(3)如图1,D是Y轴负半轴上的一点,OD=2。做一个边长为外径的正方形ODEF。以每秒1个单位的速度沿X轴的正方向移动方形ODEF。运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为S,运动时间为t秒(0 < t ≤ 2。

发现:①s与t的函数关系;

②运动时S有最大值吗?如果存在,直接写这个最大值;如果不存在,请说明原因。

(4)如图2所示,点P(1,k)在直线BC上,点M在X轴上,点N在抛物线上。有顶点为A,M,N,P的平行四边形吗?如果存在,请直接写下m点的坐标;如果不存在,请说明原因。

例5: (2012黑龙江黑河,齐齐哈尔,大兴安岭,鸡西10)如图所示,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边0A和08分别在Y轴和X轴上,OA和OB的长度为方程X2-7x+12 = 0 (0)中的两条。0B),移动点P从A点开始,在线段AO上以每秒L个单位长度的速度移动到点O;同时,移动点Q从B点出发,在线BA上以每秒2个单位长度的速度移动到点A,P点和Q点的移动时间为t秒。

(1)求A点和b点的坐标(2)当t是什么值时,△APQ类似于△AOB,直接写出此时Q点的坐标。

(3)当t=2时,坐标平面中是否存在点M,使得顶点为A、P、Q、M的四边形为平行四边形?如果存在,请直接写出M点的坐标;如果不存在,请说明原因。

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1.(2012,贵州安顺,14分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,直角OABC的边长OA和OC分别为12cm和6cm,A点和C点分别在Y轴的负半轴和X轴的正半轴上,抛物线Y = AX2+BX+。

(1)求抛物线的解析式。

(2)如果P点从A点出发,以1cm/s的速度沿AB侧移动到终点B,Q点从B点出发,以2cm/s的速度沿BC侧移动到终点c .

①在运动后的第T秒,设△PBQ的面积为S,试写出S与T的函数关系,写出T的取值范围.

②当S达到最大值时,抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求r点的坐标;如果不存在,请说明原因。

2.(2012,湖北恩施,8分)如图所示,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一条直线相交于两点A (﹣ 1,0)和C (2,3),与y轴相交于n点,其顶点为D. (65433)

(2)设定点M(3,M)求MN+MD的值最小时M的值;

(3)若抛物线对称轴与直线AC相交于B点,E为直线AC上的任意一点,过点E为EF∨BD且抛物线与F点相交,则以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?如果有,求e点的坐标;如果没有,请说明原因;(4)若P为直线AC上方抛物线上的动点,求△APC的最大面积。

3.(2012四川宜宾10)如图所示,抛物线y = x2-2x+c的顶点A在直线l: y = x-5上。

(1)求抛物线顶点A的坐标;

(2)设抛物线在B点与Y轴相交,在C点与X轴相交. D(C点在D点的左边),试判断△ABD的形状;

(3)直线L上是否有点P,使得以点P和A.B.D为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求p点的坐标;如果不存在,请说明原因。

4.(2012湖南娄底10)已知二次函数y = x2-(m2-2) x-2m的图像与X轴相交于点A (x1,0)和B (x2,0),x660。

(1)求这个二次函数的解析表达式;

(2)探究:直线y=x+3上是否存在点P,使得四边形PACB为平行四边形?如果是,求p点的坐标;如果没有,请说明原因。

第四,长方形、菱形、正方形都有问题;

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例1: (BC=12黑龙江陇东地区10)如图所示,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC和OA分别与X轴和Y轴重合,AB∥OC,∠ AOC = 90,∠ BCO = 40。

(2)若直线DE与梯形对角线BO相交于D点,与Y轴相交于E点,且OE=4,OD=2BD,求直线DE的解析式;(3)如果点P是(2)中直线DE上的动点,那么坐标平面上是否存在点Q,使得顶点为O、E、P、Q的四边形是菱形?如果存在,请直接写出q点的坐标;如果不存在,请说明原因。

例二:(2012,贵州六盘水,16)如图1所示,已知在△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC = 6 cm。如果点P从B出发沿BA方向匀速运动,点Q从A出发沿AC方向匀速运动到点C,

(1)当t是什么值时,PQ∑BC。

(2)设△AQP的面积为S(单位:cm2),当t为什么值时,S取最大值,求最大值。

(3)是否存在一个时刻t,使直线PQ恰好平分△ABC的面积?如果存在,求此时t的值;如果不存在,请说明原因。(4)如图2所示,将△AQP沿AP折叠,得到四边形AQPQ’。那么,有没有一个时间t使得四边形AQPQ '成为菱形呢?如果存在,找出此时钻石的面积;如果不存在,请说明原因。

例3: (2012辽宁铁岭14)如图所示,已知抛物线经过原点O和X轴上的一点A (4,0),抛物线的顶点为E,

其对称轴与X轴相交于d点,直线经过抛物线上的一点B (-2,m)与Y轴相交于C点,与抛物线相交。

对称轴与f点相交。

(1)求m的值和抛物线对应的解析式;

(2)P是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,则求所有合格点P的坐标;

(3)点Q是平面上的任意一点,点M从点F出发,沿对称轴以每秒1个单位长度的匀速运动。如果M点的运动时间为t秒,那么Q,A,E,M四个顶点的四边形可以做成菱形吗?如果有,请直接写出M点的运动时间t的值;如果没有,请说明原因。

备用图表

例4: (2012,福建漳州12)已知抛物线y= x2+1(如图)。

(1)填空:抛物线的顶点坐标为(_ _ _ _ _ _ _,_ _ _ _ _ _),对称轴为_ _ _ _ _ _ _ _;

(2)已知y轴上的点A (0,2),点p在一条抛物线上,过点p为PB⊥x轴,垂足为b,若△PAB为等边三角形,求点p的坐标;

(3)在(2)的条件下,点M在直线AP上。平面上是否有一个点N,使得四边形OAMN成为菱形?如果存在,直接写出满足条件的所有点n的坐标;如果不存在,请说明原因。

例5: (2012,内蒙古通辽12)如图所示,在平面直角坐标系中,一个正方形ABCD放在第一象限,斜靠在两个坐标轴上,点A (0,2),点B (1,0),抛物线Y = AX2-AX。

(1)求C点的坐标;(2)求抛物线的解析式;版权归金元数学工作室所有,不得转载。

(3)抛物线上有P点和Q点(C点和D点除外)使四边形ABPQ为正方形吗?如果求P点和Q点有两个坐标,如果没有,说明原因。

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1.(2012山东烟台12分钟)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点:B (1,0),C (3,0),D (3,4)。有顶点的抛物线是Y = AX2+。

(1)直接写出A点的坐标,求抛物线的解析式;

(2)若交点e是f处的EF⊥AD,g点的抛物线,t的值是多少,△ACG的面积最大?最大值是多少?(3)在移动点P和Q的过程中,当T的值是什么时,在矩形ABCD(包括边界)中有一个点H,使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形?请直接写出t的值。

2.(2012,福建福州,13)如图1所示,在Rt△ABC中,∠ c = 90?,AC = 6,BC = 8,移动点P以每秒1个单位长度的速度从A点沿AC移动到C点,移动点Q以每秒2个单位长度的速度从C点沿CB移动到B点,交点P为PD∑BC,交点AB连接PQ。P点和Q点分别同时从A点和C点出发,当

(1)直接用一个代数表达式t表示:QB = _ _ _ _ _ _,PD = _ _ _ _ _ _。

(2)是否存在使四边形PDBQ成为菱形的t值?如果存在,求t的值;如果不存在,说明原因,并探讨如何改变Q点(匀速运动)的速度使四边形PDBQ在某一时刻呈菱形,求Q点的速度;(3)如图②所示,在整个运动过程中,求线段PQ的中点m的路径长度。

3.(2012,辽宁锦州,14分钟)如图,抛物线与轴相交于C点,直线L为抛物线对称轴,P点在第三象限,为抛物线的顶点。从p到轴的距离是1。C点关于直线L的对称点是A,它连接AC相交直线L和b .

(1)求抛物线的表达式;版权归金元数学工作室所有,不得转载。

(2)直线在点D处与抛物线相交,在点F处与轴相交,并在第一象限中的点E处连接BD,以及

DE:BE=4:1。求直线的表达式;

(3)若N是平面直角坐标系中的一点,直线上是否有一点M,使得点O,F,M,N为

顶点的四边形是菱形?如果存在,直接写出点m的坐标;如果不存在,请说明原因。

4.(2012青海省12)如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图像与X轴相交于A、B两点,A点在原点左侧,B点的坐标在(3,0)处,与Y轴相交于C点(0,

(2)连接PO和PC,沿Co折叠△POC得到四边形POP'C,那么是否有一个点P使四边形POP'C成为菱形?如果是,请求P点此时的坐标;如果不存在,请说明原因。

(3)当点P移动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大,求出点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。