高三函数题

意思是当f(x)=x，即ax ^ 2+(b-1)x+c = 0时，

两个x1，x2分别是1，2。

所以从维耶塔定理，x1+x2=-(b-1)/a=3。

x1*x2=c/a=2

然后从f(0)=c=2，得到a = 1，b =-2，c=2。

所以f(x)= x2-2x+2 =(x-1)2+1。

根据f(x)图像:

m=f(x)min=f(1)=1

M=f(x)max=f(-2)=10

(2)设A={x|f(x)=x}={2}

意思是当f(x)=x，即ax ^ 2+(b-1)x+c = 0时，

只有一个根x=2。

所以△ = (b-1) 2-4ac = 0。

并且x=-b/2a=2。

B =-4a，c =[(b-1)2]/4a = 4a+1/(4a)+2。

那么f (x) = ax 2-4ax+4a+1/(4a)+2。

因为a≥1，所以可以用基本不等式。

f(x)≥ax 2-4ax+2[√4a * 1/(4a)]+2。

=ax^2-4ax+4

对称轴x=-b/2a=-(-4a)/2a=2。

根据f(x)的图像:

m=f(X)min=f(2)=-4a+4

M=f(x)max=f(-2)=12a+4

则g(a)=M+m=8a+8 (a≥1)。

从g(a)的图像可以看出，g(a)在[1，+∞)上单调递增。

所以g(a)min = g(1)= 8 * 1+8 = 16。