期中考试试题的因式分解

公式:找到合适的公因子，一次提完；全家搬走，留下1看家；负号要改，变形要看奇偶性。比如:-am+BM+cm =-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)= a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意:把2a+1/2换成2(a+1/4)不是公因数。

公式法

如果把乘法公式反过来，有些多项式可以因式分解。这种方法叫公式法。平方差公式:(a+b)(a-b)= a ^ 2-b ^ 2依次是a ^ 2-b ^ 2 =(a+b)(a-b)完全平方公式:(a+b)2 = a ^ 2+2ab+b ^ 2依次是a. 2注:可以用完全平方公式分解因子的多项式一定是三项式，其中两个可以写成两个数(或公式)的平方和，另一个是这两个数(或公式)的乘积的两倍。两个公式:ax ^ 2+bx+c = a(x-(-b+ √( b ^ 2-4ac))/2a)立方和公式:a ^ 3+b ^ 3 =(a+)。三次差分公式:a 3-b 3 = (a-b) (a 2+ab+b 2)完全三次公式:a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3。公式:a 3+b 3。

因子分解技术

1.掌握因式分解技巧:①方程的左边必须是多项式②因式分解的结果必须用乘积的形式表示③每次因式分解必须是代数表达式，每次因式分解的次数必须低于原多项式的次数；④因式分解因子必须分解到每个多项式因子都不能再分解为止。注意:分解因子前要找到公因子，确定公因子前要考虑系数和因子。2.提取公因子法的基本步骤:(1)求公因子(2)提取公因子，确定另一个因子:①求公因子的第一步，先确定系数，再确定字母；②第二步，提取公因子，确定另一个因子。注意确定另一个因素。你可以把原多项式除以公因式，得到的商就是提取公因式后剩下的那个。

编辑本次比赛中使用的方法。

群乘法

群分解是求解方程的一种简单方法。让我们学习这些知识。方程中有四个或四个以上的项可以分组，一般的分组分解有两种形式:二分法和三分法。比如:ax+ay+bx+by = A(X+Y)+B(X+Y)=(A+B)(X+Y)我们把AX和AY分成一组，bx和BY分成一组，利用乘法分配定律相互匹配，一下子就解决了难点。同样，这道题也可以做。ax+ay+bx+by = x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几个例子:1.5ax+5bx+3ay+3by解:= 5x (a+b)+3y (a)。

=(5x+3y)(a+b)说明:不同的系数可以进行分组分解。如上，把5ax和5bx看成一个整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律很容易求解。2.x 3-x2+x-1解:=(x3-x2)+(x-1)= x2(x-1)+(x-1)=(。3.X 2-X-Y 2-Y相关公式

解法:=(x ^ 2-y ^ 2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)用二分法，然后用公式A ^ 2-b。

交叉乘法

这种方法有两种情况。(1)x2+(P+Q)X+PQ公式的因式分解这类二次三项式的特点是:二次项的系数为1；常数项是两个数的乘积；线性项的系数是常数项的两个因子之和。所以我们可以直接分解一些系数为1:x ^ 2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)的二次三项式因子。例如:x2-2x-8 = (x-4) (x+2) ② kx。那么kx ^ 2+MX+n =(ax+c)(bx+d)。图示如下:a ╲╱ c b ╲ d例如，在(7x+2)(x-3)中，a = 1 b = 7 c =

拆分和添加项目的方法

这种方法是指把一个多项式的一项拆开或把两项(或几项)彼此相反的项填满，使原公式适合于通过提高公因式法、利用公式法或分组分解法进行分解。需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。比如:BC(B+C)+CA(C-A)-AB(A+B)= BC(C-A+A+B)+CA(C-A)-AB(A+B)= BC(C-A)+BC(A+B)+CA(。

完成正方形的方法

对于一些不能用公式法的多项式，可以用完全平坦的方式拟合，然后用平方差公式进行因式分解。这种方法称为匹配法。属于拆项补项法的特例。还需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。例如:x2+3x-40 = x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5)。

运用阶乘定理

对于多项式f(x)=0，若f(a)=0，则f(x)一定含有因子x-a，例如，若f (x) = x 2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x 2+5x+6的因子。(其实x 2+5x+6 = (x+2) (x+3)。)注:1。对于一个系数全部为整数的多项式，若x = q/p(当p，q为互质整数时)，多项式值为零，则q为常数项除数，p的最高项的系数约为2。

替代方法

有时候在因式分解的时候，可以选择多项式的相同部分，用另一个未知数替换，然后因式分解，最后再转换回来。这种方法叫做替代法。注意:换完人民币别忘了还。比如分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以使y = x 2+x，那么原公式= (y+1) (y+2)-12 = y。

求根方法

设多项式f(x)=0，求其根为x1，x2，x3，...xn，则该多项式可分解为f (x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3)...(x-xn)。例如，在2x的分解中。那么通过综合除法，我们可以知道这个方程的根是0.5，-3，-2，1。所以2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(。

镜像法

设y=f(x)，作函数y=f(x)的图像，求函数图像与X轴的交点，X1，X2，X3...Xn，则该多项式可因式分解为f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2)。比如x ^ 3+2x ^ 2-5x-6分解时，可以使y = x ^ 3；+2x 2-5x-6。作其像，与X轴的交点为-3，-1，2为x3+2x 2-5x-6 =(X+1)(X+3)(X-2)。

主成分方法

首先选择一个字母作为主元素，然后按照字母的个数从高到低排列项目，再进行因式分解。

特殊价值法

将2或10代入X，求出数P，将数P分解为质因数，适当组合质因数，将组合后的各因数写成2或10的和与差，将2或10化简为X，从而得到因式分解。例如，在x ^ 3+9 x ^ 2+23x+15的分解中，设x=2，则x ^ 3+9 x ^ 2+23x+15 = 8+36+46+15 = 105，则当3，5，7分别为x+1，x+3，x+5。当x=2时，x 3+9x 2+23x+15可能等于(x+1) (x+3) (x+)。

待定系数法

首先判断因式分解因子的形式，然后设置相应代数表达式的字母系数，求出字母系数，从而分解多项式因子。比如分解x 4-x 3-5x 2-6x-4时，分析表明这个多项式没有一次因子，所以只能分解成两个二次因子。所以设x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+ax+b)(x2+CX+d)相关公式。

= x ^ 4+(a+c)x ^ 3+(AC+b+d)x ^ 2+(ad+BC)x+BD，从而a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，BD =-6。

双交叉乘法

双叉乘法属于因式分解的一种，类似于叉乘法。双交叉乘法是二元二次六次方。初始公式如下:ax ^ 2+bxy+cy ^ 2+dx+ey+FX，y为未知数，其余为常数。并举例说明如何使用。举例:因式分解:x2+5xy+6y 2+8x+18y+12。解析:这是一个二次六元组，可以考虑用双叉乘法进行因式分解。解法:如下图所示，将所有数字交叉连接得到原公式= (x+2y+2) (x+3y+6)。双叉乘法的步骤如下:①首先用叉乘法分解二次项，如叉乘法图形中的x2+5xy+6y ^ 2 =(x+22)。比如交叉相乘的图②中的6y？+18y+12 =(2y+2)(3y+6)③根据另一个字母(如X)的第一个系数进行检查，如十字乘法图③。这一步不能省略，否则容易出错。利用根与系数的关系分解二次多项式:对于二次多项式AX ^ 2+BX+C(A≠0)AX ^ 2+BX+C = A[X ^ 2+(B/A)X+(C/A)X]。当△ = B 2-4ac时。

编辑此多项式因式分解的一般步骤

(1)如果多项式项有公因子，那么先提公因子；(2)如果没有公因子，那就尝试用公式和交叉乘法来分解；(3)如果以上方法都无法分解，可以尝试用分组、拆分、补充的方法分解(4)因式分解因子，必须进行到每一个多项式因子都不能再分解为止。也可以用一句话来概括:“先看有没有公因数，再看有没有公式。试试十字乘，分组分解要合适。”几个例子1。分解因子(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2。解:原公式=(1+)x2(1-y)-2x 2(1+y)(补码)=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(65438)^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-2解:原公式=(x ^ 5+3x ^ 4y)-(5x+4y ^ 4(x+3y)=(x+3y)(x ^ 4-5x ^ 2y ^ 2+4y ^ 4)=(x+3y)(x ^ 2-y ^ 2)=(x+3y)当y不等于0时，x+3y、x+y、x-y、x+2y、x-2y互不相同，33不可分为四个以上不同因子的乘积，故原命题成立3.△ ABC的三边A、B、C有如下关系:-C 2+A 2+2AB-2BC = 0。证明这个三角形是等腰三角形。解析:此题本质上是对关系等号左边的多项式进行因式分解。证明:∫-C2+a2+2ab-2bc = 0，∴ (a+c) (a-c)+2b (a-c) = 0。∴ (a-c) (a+2b+c) = 0。0.∴ A-C = 0，即a=c，而△ABC是等腰三角形。4.因式分解-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。解:-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)=-6x n×y(。