证明了群G是交换群当且仅当映射X到X的逆是同构映射。

证明:

1，设G是阿贝尔群，σ: x→ x (-1)，证明σ是同构映射。

(1)设a，b∈G，a≠b，则σ(a)= a(-1)≠b(-1)=σ(b)，则σ是内射的；

(2)设b∈G，因为b = (b (-1)) (-1)，所以σ (b (-1)) = b，那么σ是满射的；

(3)设a，b ∈ g，σ(ab)=(ab)(-1)= b(-1)a(-1)= a(-1)b。

综上所述，σ是同构映射；

2.如果σ: x→ x (-1)是同构映射。

设a，b∈G，则σ (a (-1)) = a，σ (b (-1)) = b。

ab=σ(a^(-1))σ(b^(-1))=σ(a^(-1)b^(-1))=σ((ba)^(-1))=ba

所以G是阿贝尔群。

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