数学中的勾股定理论文
数学勾股定理第一部分数学思想是数学知识的精髓，也是将知识转化为能力的桥梁。灵活运用数学思想可以有效提高分析问题和解决问题的能力，增强应用数学知识的意识。在勾股定理这一章中，有很多重要的数学思想，下面举例介绍。
首先，方程的概念
在有直角三角形的图中，勾股定理常用于求线段的长度。如果勾股定理不能直接用来计算，就需要用列方程求解。
第二，皈依的思想
转换的思想是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题的形式变成另一种已经解决或容易解决的问题，从而使原来的问题得到解决。
例3如图3所示，长方体长15cm，宽10cm，高20cm。B点和C点之间的距离是5厘米。如果一只蜗牛想沿着长方体的表面从A点爬到B点，最短的爬行距离是多少？
解析:因为蜗牛是沿着长方体的表面爬行，所以需要将长方体展开成平面图形。根据两点间的最短线段，蜗牛爬行较短距离有两种可能，如图4和图5所示。用勾股定理很容易求出两个图形中AB的长度，对比后可以发现蜗牛爬行的最短距离是25cm。
注:这里通过一个长方体的展开图，将三维图形转化为平面图形，将蜗牛爬行的最短路径问题归结为利用勾股定理求两点间距离的问题。
例4如图6所示，是一个四边形的草ABCD，其中？A = 60O，？B =？D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD和BC的长度(精确到0.1m，？1.732).
(2004年天津中考)
分析:图中没有直角三角形怎么办？想象一个直角三角形，角为30O，从而延伸出AD和BC在E点的交点，那么？E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m。由勾股定理可知，DE == m，BE == m，所以AD = 40？22.7m，BC = 20？14.6米。
描述:该问题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，巧妙地将四边形问题转化为直角三角形问题。
第三，数形结合
数形结合就是抓住数形的本质联系，把抽象的数学语言和直观的图形结合起来，通过？用形式帮数字？还是？以数解形？把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，从而达到快速解决问题的目的。
例5在10m高的树上有两只猴子。其中一只爬下树，直奔离树20m远的池塘，另一只爬到树顶，直奔池塘。如果两只猴子经过相同的距离，这棵树有多高？(2005年福建省龙岩市)
解析:根据题意画出图表7，D是树顶，AB = 10m，C是池塘，AC = 20m。设BD = (m)，则树的高度为AD = (+10)m) m .因为AC+AB = BD+DC，DC = (30) m .由勾股定理可得方程202+(+10)2 = (30)2，解为= 5，所以+10 = 15，即树高为15m。
说明:勾股定理本身就是数形结合的模型，使得直角三角形有一个直角？外形？特点，成三边？数数？勾股定理解决实际问题的关键是通过数形结合将实际问题转化为直角三角形模型，然后用方程求解。
第四，分类讨论的思路
在解题过程中，当条件或结论不确定或不唯一时，往往会出现几种可能的情况，这就需要按照一定的标准对问题进行分类，然后针对不同的情况分别求解。最后综合各种结果得出整个问题的结论。分类讨论本质上是一种。把整体拆成部分，一个一个拆，然后加起来就是整体？的数学方法。
例6如果直角三角形的两条边分别是3cm和4cm，那么第三条边的长度是_ _ _ _ _。
解析:本题中，已知直角三角形的两条边都长，但未指明是直角边还是斜边。所以需要分类讨论，答案是5cm还是cm。
例7？曙光中学？有一个三角花坛ABC，现在可以直接测量。A = 30O，AC = 40，BC = 25。请找出这个花坛的面积。
解析:因为题目没有明确告诉我们△ABC的形状，所以需要分两种情况来讨论。
图8中，S△ABC = 10(20+15)m2；
在图9中，S△ABC= 10(2015) m2。
注意:由于题目中没有数字，这类问题往往需要分类讨论，很容易因为考虑不周而错过解答。希望同学们认真理解。
五、总体思路
对于一些数学问题，墨守成规，从局部入手，很难解决；如果把问题的某一部分或几个部分作为一个整体来思考，可以开阔思路，快速回答问题。
例8已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积是_ _ _ _ _。
解析:设这个直角三角形的两条直角边的长度为，斜边为，那么= 3013 = 17，所以(+) 2 = 2+2 = 172 = 289，从勾股定理来说就是65438+。
注意:我们要求的是面积，也就是不用单独求sum的值，只要整体求即可。
例9:如图10，七个方块依次放在一条直线上。已知斜放的三个正方形的面积是1，2，3，依次放的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，所以S1+S2+S3+S4 = _ _。
解析:根据已知条件，AC = EC，？ABC =？CDE = 90O，用角度的互补关系很容易证明？ACB =？CED，所以我们可以得到△ABC≔△CDE，所以BC = ED。在Rt△ABC中，通过勾股定理可以得到AC2 = AB2+BC2 = AB2+DE2。从S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有s
注:本题不直接求解S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求解S1+S2，S3 +S4，体现了整体思想在解题中的灵活运用。
数学勾股定理第二部分数学思维方法是以具体数学内容为载体，高于具体数学内容的指导思想和普遍适用的方法。它能使人们理解数学的真谛，对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起到指导和调节作用。日本数学教育家米山昆三认为，如果学生进入社会后没有机会应用数学，那么数学作为知识，通常情况下，离开学校不到一两年就会忘记。但是，无论他们从事什么行业，铭刻在他们脑海中的数学精神和数学思维方法，将在他们的生活和工作中长期发挥重要作用。灵活运用数学思维方法解决问题，往往能化难为易，化腐朽为神奇，事半功倍。下面是勾股定理中渗透的数学思想的一个例子。
第一，分类的思想
示例1。(2013贵州黔西南州)如果一个直角三角形的两条边分别是3和4，那么第三条边的长度是()。
点评:这个问题的易错点是什么？勾三股四弦五？结果把边长为4的边直接当成直角边，从而错选了A，犯了考虑问题不全面的错误。
第二，方程的思想
例2。(山东济南2013)如图1，梁肖将升旗绳拉到旗杆底部，绳端刚好接触地面，然后将绳端拉到距离旗杆8m的位置。发现此时绳子末端距离地面2m，那么旗杆的高度(滑轮以上部分忽略不计)是()。
a . 12mb . 13mc . 16md . 17m
解析:观察图形，当绳子的末端被拉到距离旗杆8m的位置时，可以通过绳子的末端画一条垂直线到旗杆上，这样就可以得到一个直角三角形，然后将旗杆的高度设为未知数，再用勾股定理求解方程。
解法:如图2所示，若旗杆高度为X，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。
Rt△ABC中，(x-2)2+82=x2由勾股定理得到。
解为x=17m，即旗杆高度为17m，答案为d .
第三，总体思路
例3。(江苏扬州，2013)如果一个矩形的两条相邻边之差为2，对角线长为4，则该矩形的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _。
解析:设矩形的两条相邻边为a和b(a >；b)，那么根据题意，a-b=2，a2+b2=16。矩形的面积等于ab。关键是想办法把两个方程转化成包含ab的公式。
解法:设矩形的两条相邻边为a和b(a >；b)，那么a-b=2。
第五，数形结合的思想
例5。(湖南张家界2013)如图4所示，在平面直角坐标系中，直角OABC的顶点A和C的坐标分别为(10，0)和(0，4)，点D为OA的中点，点P在BC上移动。当△ODP为腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。
分析:很容易知道OD=5。要使△ODP成为腰长为5的等腰三角形，可以做一个以O点为圆心，OD为半径的圆；也可以以D点为圆心，OD点为半径做一个圆。
解:从C (10，0)，OD=5。
(1)以O点为圆心，OD为半径，做一个圆相交。
不及物动词结构思维例题6。相同的示例3
解析:根据已知条件，结合弦图证明勾股定理，本例有以下巧妙的解法。
数学勾股定理第三部分正确的数学思维是成功解题的关键。在利用勾股定理解题时，如果能正确把握数学思维，就能拓宽思路，使方法变得简单快捷。下面是勾股定理应用中经常用到的一些数学思想，供大家参考。
首先，方程的概念
◆例1如图1，有一张直角三角形的纸，它的两条直角边AC=6cm，BC=8cm。现在直角边AC沿直线AD折，使其落在斜边AB上，C点落在E点上，则CD等于()。
A.2cm厘米A.2cm厘米A.2cm厘米A.2cm厘米
分析:从题意来看，ACD和？AED关于直线广告是对称的，所以有？ACD？AED。进一步，AE=AC=6cm，CD=ED，DE？AB。设CD=ED=xcm，那么在？在DEB中，从勾股定理可以得到DE2+BE2=BD2。在ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10。所以我们有x2+(10- 6) 2=(8- x)2，解是x=3。所以我们选择b .
第二，转变观念
例2如图2所示，长方体高3cm，底为正方形，边长2cm。目前一只虫子从A出发，沿着长方体表面爬行，到达c，虫子走的最短距离是多少？
解析:求几何曲面上的最短距离，通常可以将几何曲面展开，将三维图形转化为平面图形。对于这个问题，可以把长方体的右表面折叠到正表面，这样A、C两点就是* * *平面，线段AC的长度就是最短的距离(如图3)。根据勾股定理，AC2=32+42=52，也就是虫子走过的最短距离。
第三，分类讨论的思路
◆例3在哪里？在ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高度= 12。试着找出公元前的长度。
解析:三角形一边的高度可以在三角形内，也可以在三角形外，所以问题要分两种情况考虑。公元前边的高AD在什么时候？ABC的内部时间，如图4所示，从毕达哥拉斯定理得出BD2=AB2-AD2，BD = 9；CD2=AC2-AD2，且CD=16，则BC = BD+CD = 9+16 = 25；当公元前的高广告在那里？ABC的外时，如图5所示，也可以由勾股定理CD=16，BD=9得到。此时BC=CD-BD=16- 9=7，那么BC的长度就是25或者7。
第四，数形结合