12求最短路径最大值模型详解

问题1:求直线L上的一点P，使PA+PB的值最小。

练习:连接AB，与直线L的交点为点p .

原理:两点之间的线段最短。PA+PB的最小值是AB。

问题二:(“一般饮马问题”)在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。

做法:使点B '成为点B关于直线L的对称点，连接AB '和L的交点为点p .

原理:两点之间的线段最短。PA+PB的最小值为AB’。

问题3:分别在直线l1和l2上求点M和N，使△PMN的周长最小。

做法:使点P '和P ' '分别对称于两条直线，连接P'P ' '，与两条直线的交点为点M，n .

原理:两点之间的线段最短。PM+MN+PN的最小值就是线段P'P '的长度。

问题4:分别在直线l1和l2上求点M和N，使四边形PQMN的周长最小。

练习:分别做一些q？直线l1和l2的对称点Q '和P '连接Q'P '，与两条直线的交点为点M，n .

原理:两点之间的线段最短。四边形PQMN周长的最小值是线段Q'P'+PQ的长度。

问题5:(“桥址选择问题”)直线m∑n，分别在m和n上求点m和n，使MN⊥m、

AM+MN+BN的值最小。

练习:将a点向下移动MN的长度单位得到a’，连接a’b，在n点处与n交叉，在m点处与n交叉作NM⊥m .

原理:两点之间的线段最短。AM+MN+BN的最小值是A'B+MN。

问题6:在直线L上求两点M和N (M在左边)，使MN = a，AM+MN+NB的值最小。

做法:将A点向右平移一个长度单位得到A '，关于直线l做对称点A '，连接A''B与直线l在n点相交，

将n点向左平移一个单位m .

原理:两点间最短的线段。AM+MN+NB的最小值是A”b+ MN。

问题7:求l1上的A点和l2上的B点，使PA+AB的值最小。

做法:使点p '成为点p关于l1的对称点，使点B ⊥ L2，在点a处过l1 .

原理:一点到一条直线的距离最短。PA+AB的最小值是线段P’b的长度.

问题8: A是l1上的不动点，B是l2上的不动点，在l2上求M点，在l1上求N点。

最小化AM+MN+NB的值。

做法:作A点关于l2的对称点A’，B点关于l1的对称点B’。将A'B '连接到交点l2与点M以及交点l1与点n .

原理:两点之间的线段最短。AM+MN+NB的最小值是线段A'B '的长度。

问题9:在直线L上找一点p，使| PA-PB |的值最小。

练习:连接AB，AB的垂线与直线L的交点为点p .

原理:垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。| Pa-Pb | = 0。

问题10:在直线L上找一点p，使| PA-PB |的值最大化。

做法:做直线AB，与直线L的交点为点p .

原理:三角形任意两条边之差都小于第三条边。| PA-PB | ≤ AB，且| PA-Pb | = AB的最大值。

问题11:在直线L上找一点p，使| PA-PB |的值最大。

做法:使B点关于L线的直线AB’对称点B，与L线的交点为p点.

原理:三角形任意两条边之差都小于第三条边。| PA-PB |≤ AB '，最大值| PA-Pb | = AB '。

问题12:(“费马点”)△ABC中的每个内角都小于120。在△ABC中求一点P。

使PA+PB+PC的值最小。

做法:求费马点，即满足∠ APB = ∠ BPC = ∠ APC = 120。

以AB和AC为边，向外做等边△ABD和△ACE，连接CD和BE相交于P点，这就是需求。

原理:两点之间的线段最短。PA+PB+PC = CD的最小值。