高数的极限问题
大学科学研究
浅析高等数学中的“求极限”
紫琅职业技术学院
杨琪
【摘要】通过对江苏省高等数学考试中极限类型的分析，总结出求极限的基本类型及相应的处理方法。
[关键词]极限专业版高等数学0。介绍
江苏省高等数学考试求极限很有必要。我对比了近六年高等数学考试中求极限的题型，认为只要知道极限的三种基本类型的解法，在考试中解极限题并不难。下面就来详细说说极限的基本类型及其处理方法。
1.极限问题(1)“0”型
所谓“0”型是指分子和分母极限为零的类型，因为分母极限为
零，不能用极限四定律中的除法法则。为了使用除法法则，关键是使分母极限不为零。这些方法如下:
1)省略分母中的求零因子，具体操作方法有:①因式分解，②根式合理化，③等价无穷小替换。
2)利用罗必达定律。
2
Imax-x-3 = b，找a，b例1 (2005):已知LX →-1x。
Ime-x-1示例5 (2007)发现极限L
式中x → 00，解:在分母中，当x → 0，tanx和x是等价无穷小时，则:
xx
Lime-x-1 = Lime-x-1然后键入0，则使用罗必达定律:x → 0xtanxx → 0x20xxx。
ime-1 = lime = 1 ime-x-1 = l
X → 0x → 0x → 0注:罗必达法则连续使用了两次。
x3
Im示例6 (2009)发现极限L
X → 0解法:分析题型为0型，但第一步不能用等价无穷小代替x → 0，sinx ~ x .因为这是加减运算，所以只有sinx作为整个公式的一个因子，可以用无穷小等价代替，本题考虑了罗必达定律。
32 xlimmim 3 x = lim6x = lim 6 = 6 = LX→0x→0x→0x→0注:罗必达法则连续使用了三次。(2)“∞”型
所谓“∞”型是指分子和分母都趋于无穷大的类型，因为分母是极
∞极限不存在，所以不能用除法法则。为了能够使用除法法则，使分母极限存在，使用的方法是1:除以分母的最高次方。如果不能使用，则间接出现2: Robida规则。虽然它没有直接出现在这种专门版本中，
4+2倍
Li m3+x)，比如幂指数函数的底的极限是:x →∞ 3+1。
3+ximlim = l = 1，使用第一种方法。x→∞2+xx→∞2
+1(3)“1 ∞”型所谓“1∞”型是专门针对幂指数函数的，底数的极限是1，指数趋向于
解决方法:首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限必须存在，分子极限IM(也必须为零，即0型。Lax2-x-3) = 0，那么a = 2。
X→-1，然后通过因式分解求出极限值b:
2
x+1)(2x-3)= lli max-x-3 = lim(im(2x-3)=-5那么b =-5。
x→-1x→-1x→-12
IMX+AX+B = 3，例2 (2009):已知L求a，BX → 2解法:首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限必须存在，分子极限IM(也必须为零，即也是0型。lx2+ax+b)=4+2x+b=0∴2a+b=-4
X → 2然后用罗必达定律求本题的极限:
2
limx+ax+b = lim2x+a = 4+a = 3∴a =-1∴b =-2x→2x→2im-1例3 (2006):求极限l
x→1
大妈-10型，解法:因为题目含有偏旁，但使用了偏旁合理化的方法:
(++1) (+1) = 2Li m (-1)方法1: X→ 1
(阿姨-1)(阿姨+1)(阿姨+阿姨+1)本题为0型，也可以考虑用等价无穷小替换:
t
-1-1 imimim方法二:设x-1 = t那么l = l = l = 2x → 1。
-1t → 0阿姨-1t → 0阿姨2
三
三
三
三
三
三
三
Im(无限型。使用的方法是1:
使用公式L1+。如果不能使用，则制作
→0
用2:取以E为底的对数，再取以E为底的指数，然后变成之前的基本型。
3x
Im (x-2)例7 (08)求极限LX →∞ IM(解法:先分析出题目类型为1型，然后用公式L1+。
∞
→0
找到公式中的那个。
3x
Limx-2) im [] = L1+(-2) = E-6x →∞ x →∞注:其中(-2)在公式中。
x
Im (x+1)例8 (10年)求极限l。
x→∞(-x)×(-6)
(2x) = 2，则Limfimxf案例4 (2007)被称为L1) =。
x→0x→∞.
解法:首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限必有，分子极限(2x) = 1 ∴当x→ 0时，IMF也为零，那么当x→ 0时，f (2x)无穷小，∫lf(2x)和2x。
X→ 0是等价无穷小，即
F (2x) ~ 2x，设2x = u，当u → 0，f (u) ~ u，∴ x →∞，f1) ~ 1。
imx1=1∴l
X →∞ im(解法:先分析题目类型为1型，然后用公式L1+再来。
∞
→e
找到公式中的那个。
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