数学建模问答

数码相机定位广泛应用于交通监管(电子警察)等方面。所谓数码相机定位，是指用数码相机拍摄物体的照片，确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方式是双目定位，也就是用两个摄像头定位。对于物体上的特征点，用固定在不同位置的两个摄像机拍摄物体的图像，分别得到该点在两个摄像机像面上的坐标。只要知道两台摄像机的确切相对位置，就可以用几何方法求出特征点在固定摄像机坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。因此，对双目进行定位，准确确定两个摄像头的相对位置是关键。这个过程称为系统校准。

标定的一种方法是在一个平板上画几个点，用这两个相机同时拍照，分别得到这些点在其像平面上的像点。利用这两组像点的几何关系，可以得到这两个摄像头的相对位置。但是，无论在物面还是像面上，没有几何维度，我们都无法直接得到“点”。实用的方法是在物面上画几个圆(称为目标)，它们的圆心是几何点。但是它们的图像一般都是变形的，如图1，所以必须从靶标上这些圆的图像中准确找到圆心的图像，才能实现标定。

图1目标上圆的图像

有人这样设计靶:取1个边长为100mm的正方形，以四个顶点(对应A、C、D、E)为圆心，以12mm为半径做一个圆。以交流侧距离A点30mm的B为圆心，以12mm为半径做一个圆，如图2所示。

图2目标示意图

用固定的数码相机拍摄图像，如图3所示。

图3目标图像

请:

(1)建立数学模型和算法，确定圆心在靶标上的图像坐标在摄像机的像平面上，其中坐标系的原点在摄像机的焦点上，x-y平面平行于像平面；

(2)对于图2和图3分别给出的靶标及其图像，计算靶标上圆心在图像平面上的图像坐标。相机的像距(即焦点到像面的距离)为1577像素单位(1mm约为3.78像素单位)，相机分辨率为1024×786；

(3)设计一种方法来测试你的模型，并讨论该方法的准确性和稳定性；

(4)建立数学模型和方法，给出两台固定摄像机与该目标的相对位置。