浅谈高中数学竞赛中的题数
对于一个素数P，取a=10，则10(P-1)≡1(mod P)。
如果找到一个正整数E使得10 E/P-1/p是一个整数，那么E就是1/p的循环节点(但不一定是最小的一个)。根据费马大定理，E存在于不大于p-1的正整数中！
这也意味着1/p的第一个循环段就在小数点后面，是纯循环小数。
p-1是一个和数，所以10 (P-1)-1可以因式分解为(10)P1-1)(10(P其中P 1是P-1的一个因数，如果有一个小于P-1的E满足“65433
(重要)δ引理:当一个循环小数被2除时，其循环节点大小不变。
证明:
1.如果每个循环段都是偶数，那显然是不变的。
2.如果是奇数，可以把这个循环段末尾的奇数a 1给下一个循环段，这样新的循环段又会是偶数，但是这个循环段是重叠的，比如0.45454545...变成0.44+0.0144+0.00144...
2008=2*2*2*251，251是一个素数。这样我们只需要找到1/251的循环段长度(除以2三次就是1/2008)。
根据10 250≡1(MOD 251)的顶部，如果有一个较小的E满足10 E ≡ 1 (MOD 251)，那么E是250的除数。
还有，同余公式可以相乘，即如果a≡c(mod m)，b≡d(mod m)，ab≡cd(mod m)。
10 3 ≡-4 (MOD 251)所以
10 5≡-400≡102(MOD 251)10 5不符合要求。
10 10≡10404≡113(MOD 251)10 10不符合要求。
10 20≡12769≡-32(MOD 251)10 20不符合要求。
10 25≡-3264≡-1(MOD 251)10 25不符合要求。
10 50≡1(MOD 251)10 50符合要求。
所以循环部分的长度是50。
标准答案:解:2008 = 2 ^ 3×251。
φ(251)=250
250的正因数是1，2，5，10，25，50，125，250。x取上述正因子，满足10 x ≡ 1 (MOD 251)。没有分，也舍不得，希望你能理解。