证明题数是两道真题

等式可以写成x 2-x-1 = 0。根据维耶塔定理，α+β=1，α*β=-1。

另外，根据X 2 = X+1，两边乘以X ^ N，X(N+2)= X(N+1)+X ^ N。

即α (n+2) = α (n+1)+α n，β (n+2) = β (n+1)+β n。

当n=1时，a1=1，满足

当n=2时，a2=α+β=1，满足

当n=3时，

(α^3-β^3)/(α-β)

=[(α^2+a)-(β^2+β)]/(α+β)

=(α^2-β^2)/(α+β)+(a-β)]/(α+β)

=a2+a1=a3

找到

通过数学归纳法，n≥4也成立。

领证！

设x 2 = x+1的较大解为α，则α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2，-1 < β/α < 0。

林·an^(1/n)

= lim[(α^n-β^n)/(α-β)]^(1/n)

=林·α*{[1-(β/α)^n]/(α-β)}^(1/n)

=α

=(1+√5)/2

请点击输入图片说明。

F(x)在[a，b]上有连续的二阶导数。

并且f(x)在[a，b] c1 < C2 < C3上有三个不同的零。

根据中值定理，至少有两点:f '(泽塔1) = f '(泽塔2) = 0，c1 <泽塔1 < C2 <泽塔2 < C3；那么至少有一点f''(θ)=0，c 1 < zeta 1 <θ< zeta 2 < C3。

方程在[a，b]上至少有一个实根，等价于至少一个点，所以f(x)-2f'(x)+f''(x)=0成立。

先写到这里，以后继续。

——分割线。

继续

分析公式的主要目的是构造合适的函数，利用中值定理可以很快得出结论。

f(x)-2f '(x)+f ' '(x)= 0→f(x)-f '(x)-[f(x)-f '(x)]' = 0

设g(x)=f(x)-f'(x)，则g(x)-g '(x)= 0→g '(x)/g(x)-1 = 0→ln[g(x)]+ln[e(-)

求g(x)=f(x)-f'(x)，f '(x)/f(x)-1 = 0→ln[f(x)]+ln[e(-x)]= 0→g(x)= e的零点。

此时，可以构造函数φ(x)= e(-x)* f(x)；

φ'(x)=-e^(-x)*f(x)+e^(-x)*f'(x)=-e^(-x)*[f(x)-f'(x)]

φ''(x)=e^(-x)*[f(x)-f'(x)]-e^(-x)*[f'(x)-f''(x)]=e^(-x)[f(x)-2f'(x)+f''(x)]

∫f(c 1)= f(C2)= f(C3)= 0

∴φ(c1)=φ(c1)=φ(c1)=0

θ1∈(c1，c2)和θ2∈(c2，c3)存在，所以φ'(θ1)=φ'(θ2)=0。

然后有一点η∈(θ1，θ2)φ' '(η)= 0。

即e (-η) [f (η)-2f' (η)+f'' (η)] = 0，e (-η) > 0。

则f(η)-2f'(η)+f''(η)=0

完美！