勾股定理的50个问题
人教版八年级下册勾股定理知识点及典型例题
一、基础知识点:
1.勾股定理
内容:一个直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方；
表示法:若直角三角形的两个直角为0，斜边为0，则
勾股定理的由来:勾股定理又称商高定理，在西方被称为勾股定理。在中国古代，直角三角形中较短的直角边叫钩，较长的直角边叫弦，斜边叫弦。早在3000多年前，周朝数学家商高就以“勾三、弦四、弦五”的形式提出了勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系是两直角之和
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法有很多种，常见的有拼图法。
用拼图法验证勾股定理的思路如下
(1)图形经过裁剪和修补后，只要没有重叠，没有缝隙，面积就不会发生变化。
②根据同一图形面积的不同表示，列出方程式，推导勾股定理。
常见的方法如下:
方法一:简化证明。
方法二:
四个直角三角形的面积和一个小正方形的面积之和等于一个大正方形的面积。四个直角三角形的面积和一个小正方形的面积之和就是一个大正方形的面积，所以第三种方法:，，用化简证明。
3.勾股定理的应用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，只适用于直角三角形，不适用于锐角三角形和钝角三角形的三条边。因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
4.勾股定理的应用①已知直角三角形任意两条边的长度，求中间的第三条边，然后，，，②已知直角三角形的一条边，就可以得到另外两条边的数量关系③可以利用勾股定理解决一些实际问题。
5.勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三条边的长度都满足，那么这个三角形就是直角三角形，其中斜边就是斜边。
①勾股定理逆定理是判断三角形是否为直角三角形的重要方法。它通过“将数字转化为形状”来确定三角形的可能形状。应用这个定理时，两个小边的平方和可以与长边的平方相比较。如果它们相等，那么有三条边的三角形就是直角三角形。如果，当，有三条边的三角形是钝角三角形；如果，当，有三条边的三角形是锐角三角形；
(2)定理中，，和只是一种表达形式，不能认为是唯一的。如果三角形的三条边的长度都满足，那么以、和为三条边的三角形是直角三角形，但它是斜边。
③勾股定理逆定理用一道题描述时，当斜边的平方等于两条直角边的平方之和时，不能说这个三角形是直角三角形。
6.毕达哥拉斯数
①三个有三条直角三角形边的正整数称为勾股数，即当、和为正整数时，称为勾股数。
2记住常见的毕达哥拉斯数可以提高解题速度，比如；；；等待
(3)用带字母的代数表达式表示群勾股数；
(正整数)；
(是正整数) (，是正整数)7。勾股定理的应用
勾股定理可以帮助我们解决计算直角三角形的边长或者证明直角三角形中线段之间的关系的问题。在运用勾股定理时，一定要把握好一个直角三角形的前提条件，知道直角三角形的斜边和右边是什么，并尽量加辅助线(一般是垂直线)来构造直角三角形，这样才能正确运用勾股定理求解。
8.勾股定理逆定理的应用
勾股定理逆定理可以帮助我们通过三角形三条边之间的数量关系来判断三角形是否为直角三角形。在具体计算过程中，要将两个短边的平方和与最长边的平方和进行比较，不能不假思索地将两个边的平方和与第三个边的平方和进行比较，从而得出错误的结论。
9.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是一个不可分割的整体。通常需要通过逆定理判定三角形是否为直角三角形，利用勾股定理求边长，两者相辅相成，完成问题的求解。常见图形:
10，互易命题的概念
如果一个命题的题目和结论是另一个命题的结论和题目，这样的两个命题叫做互反命题。如果其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
第二，经典的例子。
问题1:直接考察勾股定理
示例1。在，。
(1)已知的长度..
⑵已知、已知、已知的长分析:直接应用勾股定理。
解决方案:(1)
⑵
问题2:用勾股定理测长度
例1如果梯子底部离建筑物9米，那么长15米的梯子能到达建筑物多少米？
分析:这是一个众所周知的“知二求一”的典型问题。将物理模型转化为数学模型后，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理就可以直接计算出另一条直角边的长度！
根据勾股定理AC2+BC2=AB2，即AC2+92=152，所以AC2=144，所以AC=12。
例2如图(8)所示。在水池中，C处有一根直立的芦苇，距离岸边d为1.5m，出水口BC的长度为0.5m，将芦苇拉向岸边，其顶端B刚好落到岸边d，求水池的深度AC。
解析:如例1，先把物理模型转换成数学模型，如图2。从题意可以看出，在△ACD中，∠ACD=90？SPAN & gtRt△ACD中只知道CD=1.5，是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
标准的解题步骤如下(仅供参考):
解:如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2。
设水深AC= x米，则AD=AB=AC+CB=x+0.5。
x2+1.52=( x+0.5)2
解的X=2。
所以水深2米。
问题3:勾股定理和逆定理一起用——
实施例3如图3所示。在正方形ABCD中，e是BC边上的中点，f是AB上的一点，那么△DEF是直角三角形？为什么？
分析:这个问题隐藏了很多条件，乍一看有点混乱。如果你仔细阅读问题，你会发现其中的规律。没有任何条件，我们也可以创造条件。设AB=4a，则BE=CE=2 a，AF=3 a，BF= a，则在Rt△AFD，Rt△BEF和
Rt△CDE中，用勾股定理计算DF，EF，DE的长度，反过来用勾股定理的逆定理判断△DEF是否为直角三角形。
详细的问题解决步骤如下:
解法:设正方形ABCD的边长为4a，则be = ce = 2a，AF = 3a，BF = a。
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2。
同理，ef2 = 5a2，df2 = 25a2。
在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+
20a2=25a2=DF2
△ def是直角三角形，且△ ∠DEF=90？SPAN & gt。
注意:本题使用了勾股四定理，这是掌握勾股定理的必要练习。
问题4:用勾股定理求线长-
实施例4如图4所示。已知矩形ABCD中AB = 8 cm，BC = 10 cm。在边CD上取一点E，折△ADE使点D刚好落在BC边的点F上，求CE的长度。
解析:解题前明确折叠中的不变量。合理的设定是关键。
详细的解题过程如下:
解法:Rt△ADE≌Rt△AEF根据题意得出。
∴∠AFE=90？SPAN & gt，AF=10cm，EF=DE
设CE=xcm，
那么de = ef = CD-ce = 8-X。
从Rt△ABF的勾股定理:
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102
∴BF=6cm
∴CF=BC-BF=10-6=4(cm)
从Rt△ECF的勾股定理:
EF2=CE2+CF2，即(8-x) 2 = x2+42。
∴64-16x+x2=2+16
∴x=3(cm)，即CE=3厘米。
注意:接下来，你可以找到折痕的长度和重叠部分的面积。
问题5:用勾股定理的逆定理判断垂直-
例5如图5，王师傅要检查桌子的AD边是否垂直于AB边和CD边。他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm。AD边是否垂直于AB边？如何验证AD边是否垂直于CD边？
分析:由于实物一般都比较大，所以用尺子量长度并不容易。我们一般截取一部分长度来验证。如图4，矩形ABCD代表桌面形状，AB上的AM=12cm裁剪，AD上的AN=9cm裁剪(为什么要设置这两个长度？)，连接MN，测量MN的长度。
①若MN=15，则AM2+AN2=MN2，所以AD边垂直于AB边；
②若MN=a≠15，则92+122 = 81+144 = 225，A2 ≠ 225，即92+122≦。
A2，所以∠A不是直角。用勾股定理解决实际问题—
例6有一个感应控制的灯，安装在门上方的墙上，离地4.5米。只要5米内有任何东西移动，灯就会自动打开。一个身高1.5米的学生要走多远才能到门口？
分析:首先要搞清楚楚人走过去，是头离灯5米还是脚离灯5米。可想而知，头应该离灯有5米远。将其转换成数学模型。如图6，a点代表控制光，BM代表人的高度，BC∑Mn和BC ⊥ An求距离a点5m时BC的长度。已知AN=4.5米，所以AC=3米。根据勾股定理，可以计算出BC=4米，即使是在距离门4米的地方刚刚开灯。
问题6:旋转问题:
示例1。如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边。绕A点逆时针旋转△ABP后，可与△ACP’重合。如果AP=3，求PP '的长度。
变式1:如图，P是等边三角形ABC中的一点，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的边长。
解析:利用旋转变换，选择绕B点逆时针60埃为△BPA。什么？机械发酵？哎？切沃学校？/SPAN>。
根据它们的数量关系，从勾股定理可知这是一个直角三角形。
变式2，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90埃？SPAN & gte和f是BC上的点，而∠EAF=45埃？/SPAN>。
试探讨它们之间的关系，并说明原因。
问题7:关于折叠。
例1，如图，矩形纸ABCD的边长为AB=10cm，BC=6cm，E为BC上方的一点。将矩形纸沿AE对折，B点正好落在CD边上的G点，求BE的长度。
变式:如图，AD是△ABC的中心线，∠ADC=45 A？选择？/SPAN>。ADC沿直线AD折叠，C点落在C '点的位置，BC=4。求公元前的长度。
问题8:关于勾股定理在实践中的应用；
示例1。如图，MN公路与PQ公路在P点交汇，A点有一所中学，AP = 160m。从A点到MN高速公路的距离为80m。如果拖拉机在100m范围内会受到噪声的影响，那么拖拉机在MN高速公路沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明。如果已知牵引车的速度为18km/h，学校会受到多长时间的影响？
问题9:关于最短的问题。
例5:如右图1-19所示，壁虎在一个底部半径为2米、高度为4米的油罐的底边A处发现了一只害虫，决定捕捉这只害虫。为了不引起害虫的注意，它故意绕过油罐，沿着螺旋路线从后面对害虫进行突然袭击。(π取3.14，结果保留小数点后1位，可以用计算器算出来。)变式:如图，将一个边长3cm的立方体分成9个边长为1cm的小方块。假设一只蚂蚁每秒爬行2厘米，从下面地面的A点爬行到右侧的B点至少需要几个小时。
三、课后培训:
一、填空
1.如图(1)所示，在2米的高度，30°的倾斜角，海中没有水。你怎么了？/SPAN>。_ _ _ _ _ _ _米。
图(1)
2.装饮料的圆柱形杯子(如图所示)经测量半径为2.5㎝，高度为12㎝。将吸管放入杯中，杯口外至少要露出4.6㎝。让那个笨蛋去做吧。
3.已知:如图，在△ABC中，∠C = 90？/SPAN>。，点o是△ABC、OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB三条平分线的交点，点d、e、f分别为垂足，BC = 8cm，CA = 6cm，则点o到三条边AB、AC、BC的距离分别等于cm。
4.在一棵树的10米的高度有两只猴子。一只猴子爬下树，走到离树20米远的池塘边。另一个爬到树顶D直接跳到A，距离按直线计算。如果两只猴子经过的距离相同，那么这棵树就是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _米高。
5.图为三步台阶，每一步的长、宽、高分别为20dm、3dm、
2dm，A和B是这个步骤的两个相对的端点。A点有一只蚂蚁，想着b。
为了吃到美味的食物，蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短距离是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
二、选择题
1.给定一个RT delta的两边分别是3和4，第三边长的平方是()。
a，25 B，14 C，7 D，7或25
2.RT △的直角边长是11，另外两边是自然数，那么Rt△的周长是()。
a，121 B，120 C，132 D，不确定。
3.若Rt△两直角之比为5∶12，则斜边上的高度与斜边的比值为()。
a、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
4.在已知的Rt△ABC中，∠C=90埃跨度>；A+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积为()。
a、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
5.如果等腰三角形底边上的高度是8，周长是32，那么三角形的面积是()。
a、56 B、48 C、40 D、32
6.在旧城改造中，某市计划在市内的一块三角形空地上种植草皮，如图，美化环境。已知这种草皮的价格是每平方米一元，所以至少需要()才能买到这种草皮。
a 450 a b 225 a c 150 a d 300 a。
7.众所周知，如矩形ABCD所示，AB=3cm，AD=9cm。如果将这个长方形对折，使B点与D点重合，折痕为EF，那么△ABE的面积为()A，6cm2 B，8cm2 C，10cm2 D，12cm28..在△ABC中，△ Abe的面积为。AC=13，高度AD=12，则△ABC的周长为a.42b.32c.42或32d.37或339。如图，正方形网格中的△ABC，如果一个小正方形的边长是1，则△ABC为。
()(一)直角三角形
(b)锐角三角形(c)钝角三角形(d)以上答案都不正确。3.计算1。如图所示，A和B是直路L同侧的两个村庄，两个村庄之间的距离分别为300m和500m，两个村庄之间的距离为D (d2=400000m2)。现在一辆汽车将在公路上建造。最低是多少？2.如图1-3-11，有一个塑料矩形模板ABCD，长10cm，宽4cm，拿在手里够大了。
PHF
三角形的直角顶点P落在AD的边上(与A、D不重合)，在AD上适当移动三角形顶点P:①能否使你的三角形的两条直角边分别通过B点和C点？如果可以的话，请你这次搞清楚。
AP的长度；如果没有，请说明原因。②再次移动三角板的位置，使三角板的顶点P移动到AD上，直角边pH。
总是经过B点，另一个直角PF和DC的延长线与Q点相交，BC与E点相交，CE能=2cm吗？如果可以，请找出此时AP的长度；如果没有，请说明原因。
四、思维训练:1，如图，是从一块长40cm、宽30cm的矩形钢板的左上角切割出一个长20cm、宽10cm的矩形后的边角料。工人师傅会适当切割，然后焊接成与原边角料面积相同、接缝尽可能短的方形工件。请根据上述要求，设计两种不同的拼接方案，将此边角料分成三块或三块以上(图2、图3中分别画出沿切割的虚线和拼接后得到的正方形，并保留拼接痕迹)。2.葛藤是一种棘手的植物。它自己的腰也不硬。为了争夺雨水和阳光，它经常在树干周围徘徊。它还有一个绝活，就是它绕树盘的路线总是遵循短路线——盘旋前进。植物也懂数学吗？如果你读了上面的信息，你能设计一个方法来解决下面的问题吗？如果一棵树的周长是3厘米，绕一圈上升4厘米，那么它的爬行距离是多少厘米？如果一棵树的周长是8厘米，它在10厘米左右爬行，那么它在周围爬行时会上升多少厘米？如果爬10次到达树顶，树干有多少厘米高？3.在△ABC中，∠ACB=90埃？/SPAN>。CD⊥AB在d，验证:。