考研数学分析真题解答

若x_n收敛，极限为x，则x必须满足x = 2+1/x {1/2}，代入元素u = x {1/2}相除得到u 3-2u-1 = 0，求出解。0，只有u=u2，然后x = (3+5 {1/2})/2。

所以接下来的问题归结为如何证明x_n真的收敛。

对于这类问题，自然的想法是用单调有界来证明(当然不一定总是可行的，但总要尝试)。

参见n & gtX _ n >在1；2，那么下界至少是有的。如果要分析单调性，可以直接做一个区别。

x _ { n+1 }-x _ n = 1/x_n^{1/2}-1/x_{n-1}^{1/2}

如果x _ n >；X_{n-1}那么x _ { n+1 } < x _ n；如果x _ n X _ n .运气不好，这里没有单调性。

然后继续分析

x _ { n+1 }-x _ n = 1/x_n^{1/2}-1/x_{n-1}^{1/2} =-(x _ n-x _ { n-1 })/[x_n^{1/2} x_{n-1}^{1/2}(x_n^{1/2}+x_{n-1}^{1/2})]

利用前面的下限，我们可以得到

| x _ { n+1 }-x _ n | & lt；| x _ n-x _ { n-1 } |/32^{1/2}

这个好办，存在常数c >；0使| x _ n-x _ { n-1 } | < C/32 { 1/2 }，然后

x _ n = x _ 0+(x _ 1-x _ 0)+(x _ 2-x _ 1)+...+ (x_n - x_{n-1})

当n->；Oo是绝对收敛的级数，所以x_n确实收敛。