比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的表达式及其增减
二次函数Y = AX2+BX+C (A ≠ 0，A，B，C为常数)包含两个变量X和Y，只要我们先确定其中一个变量，就可以用解析式求出另一个变量，即可以得到一组解。而一组解就是一个点的坐标，其实二次函数的图像就是无数个这样的点组成的图形。
熟悉几个特殊二次函数的图像和性质。
1.通过描点观察y=ax2，Y = AX2+K，Y = A (X+H) 2图像的形状和位置，熟悉各自图像的基本特征。相反，根据抛物线的特点，我们可以很快确定它是哪个解析式。
2.理解形象“加减，左加右减”的翻译公式。
Y = AX2 → Y = A (X+H) 2+K“加减”是K的，“加左减右”是H的.
总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，但由于顶点坐标不同，位置不同，抛物线的平移本质上就是顶点的平移。如果抛物线是一般形式的，就要把它们转换成顶点，然后进行平移。
3.通过作图和图像翻译，我们理解并明确了解析式的特征与图像的特征是完全对应的。解题时，要心中有图，看到函数来反映它在我们心中形象的基本特征。
4.在熟悉函数图像的基础上，通过观察和分析抛物线的特征，了解二次函数的增减性、极值等性质。用图像区分二次函数的系数A，B，C，△和由系数组成的代数表达式的符号。
第三，要充分利用抛物线“顶点”的作用。
1.我们应该能够准确灵活地找到“顶点”。形式为y = a (x+h) 2+k →顶点(-h，k)。对于其他形式的二次函数，我们可以把它变成顶点来求顶点。
2.理解顶点、对称轴和函数最大值之间的关系。若顶点为(-h，k)，对称轴为x =-h，y的最大(最小)值= k；反之，若对称轴为x=m，y的最大值为n，则顶点为(m，n)；；了解它们之间的关系，可以达到分析问题、解决问题时举一反三的效果。
3.用顶点画一个草图。大多数情况下，我们只需要画一个草图就可以帮助我们分析和解决问题。这时候我们可以根据抛物线的顶点和开口的方向画出抛物线的大概图像。
理解并掌握抛物线与坐标轴相交的解法。
一般来说，一个点的坐标由横坐标和纵坐标组成。当我们求抛物线与坐标轴的交点时，可以优先考虑其中一个坐标，然后用解析式求另一个坐标。如果方程没有实根，说明抛物线和X轴没有交集。
从上面求交点的过程可以看出，求交点的本质是解方程，它与方程根的判别式有关，而抛物线与X轴相交的次数由根的判别式决定。
五、灵活运用待定系数法求二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式是最常规、最有效的方法。求解析式的方法往往很多。如果能综合运用二次函数的图像和性质，灵活运用数形结合的思想，不仅能简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质和数形关系大有裨益。
二次函数y=ax2
学习要求:
1.知道二次函数的意义。
2.我会用描点的方法画出函数Y = AX2的图像，知道抛物线的相关概念。
重点难点分析
1.本节重点介绍二次函数的概念以及二次函数y = ax2的图像和性质；难点是根据图像推广二次函数Y = AX2的性质。
2.= AX2+BX+C(其中A，B，C为常数，a≠0)形式的函数都是二次函数。解析式里只能有两个。
有变量x和y，x的二次项的系数不能为0。自变量x的取值范围通常都是实数，但实际量在实际问题中应该是有意义的。比如圆面积S和圆半径R的关系中，半径R只能是非负的。
3.抛物线y = ax2的形状由a决定，a的符号决定了抛物线的开口方向。a > 0时，开口向上，抛物线在Y轴上方(顶点在X轴上)，无限向上延伸。当a < 0时，开口向下，抛物线在X轴下方(顶点在X轴上)，无限向下延伸。| a |越大，开口越小；| a |越小，开口越大。
4.画抛物线y = ax2时，要先列表，再描点，最后连线。在列表中选择自变量X值时，往往以0为中心，所以选择一个便于计算和追点的整数值。在追踪点的时候，一定要用平滑的曲线连接，并注意变化的趋势。
本节命题主要考察二次函数的概念、图像的应用以及二次函数Y = AX2的性质。
核心知识
规则1
二次函数的概念:
一般来说，如果是常数，那么y就叫做x的二次函数。
规则2
抛物线的相关概念:
图13-14
如图13-14所示，函数y=x2的图像是一条关于y轴对称的曲线，称为抛物线。其实二次函数的图像都是抛物线。抛物线y=x2开口向上，y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。
规则3
抛物线y=ax2的性质；
一般抛物线y=ax2的对称轴是Y轴，顶点是原点。当a > 0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a < 0时，抛物线y=ax2的开口向下。
规则4
1.二次函数的概念
(1)定义:一般来说，如果y = AX2+BX+C (A，B，C为常数，a≠0)，那么y称为x的二次函数(2)二次函数y = AX2+BX+C的结构特征是:函数y在等号的左边，自变量在等号的右边。
2.具有二次函数y = ax2的图像
图13-1
用描点法画出二次函数y = x2的图像，如图13-1，这是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
因为抛物线Y = x2关于Y轴对称，所以Y轴就是这条抛物线的对称轴，对称轴和抛物线的交点就是抛物线的顶点。从图上看，抛物线Y = x2的顶点是图像的最低点。因为抛物线Y = x2有最低点，所以函数Y = x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
3.二次函数y = ax2的性质
功能
画
开启方向
顶点坐标
对称轴
功能变化
最大(最小)值
y=ax2
a>0
向上
(0,0)
y轴
当x > 0时，y随x的增大而增大；
当x < 0时，y随着x的增大而减小。
当x = 0时，y最小= 0。
y=ax2
a<0
向下
(0,0)
y轴
当x > 0时，y随x的增大而减小；
当x < 0时，y随x增加.
当x = 0时，y max = 0。
4.用二次函数y = ax2画图像
用二次函数y = ax2描点作图时，应在顶点左右对称选取自变量x的值，然后计算出对应的y值。选择的相应值越密集，绘制的图像就越精确。
二次函数y=ax2+bx+c
学习要求:
1.二次函数的图像将通过绘图来绘制。
2.抛物线的开口方向、对称轴、顶点和位置可用图像或公式确定。
* 3.二次函数的解析式将由已知图像上三点的坐标得到。
重点和难点
1.本节重点讲解二次函数Y = AX2+BX+C的图像和性质的理解和灵活运用，但难点在于二次函数Y = AX2+BX+C的性质以及通过公式将解析式转化为Y = A (X-H) 2+K的形式。
2.学习这一节需要仔细观察归纳图像的特征以及不同图像之间的关系。连接不同的图像，找出它们的独特性。
一般来说，如果几个不同的二次函数的二次系数a相同，则抛物线的开口方向和开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同。
任意抛物线y = a (x-h) 2+k都可以通过适当平移抛物线y = ax2得到。具体翻译方法如下图所示:
注意:上面翻译的规律是:“H值正负，左右移位；k值为正、负、上、下”其实和抛物线的平移问题有关，不能死记硬背平移规律。根据它们顶点的位置关系来确定平移方向和距离是非常简单的。
图13-11
例如，研究抛物线L1: y = x2-2x+3与抛物线L2: y = x2的位置关系，我们可以通过公式将y = x2-2x+3变为顶点Y = (x-1) 2+2，求其顶点M1(1反过来，将L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到L2。
二次函数Y = AX2+BX+C的像与Y = AX2的像具有完全相同的形状，它们的性质相似。当a > 0时，两条抛物线的开口向上，无限延伸，抛物线有最低点，y有最小值；当a < 0时，开口向下且无限延伸，抛物线有最高点，y有最大值。
3.画抛物线时，首先要确定开口方向、对称轴和顶点位置，然后使用函数对称列表，这样画点连线后就可以得到完整准确的图像。否则画出来的图像往往只是一部分。比如画一个图像，y =-(x+1) 2-1。
列表:
x
-3
-2
-1
1
2
三
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
追踪点并连接成一个图像如图13-11，不能反映全貌。
正解:根据解析式，图像开口向下，对称轴为X = -1，顶点坐标为(-1，-1)。
列表:
x
-4
-3
-2
-1
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
追踪线:如图13-12所示。
图13-12
4.用配置法将二次函数Y = AX2+BX+C化为Y = A (X-H) 2+K，首先要提出二次项系数A。常见错误只在第一项提到，后面省略。例如，如果将y =-x2+6x-21写成y =-(x2+6x-21)或y = y=- (x2+6x-21+02x-42)，则符号有误，主要是因为没有掌握加括号的规则。
本节命题主要考察二次函数Y = AX2+BX+C的图像和性质及其在现实生活中的应用。既有填空题，也有选择题和解析题，还有方程、几何、线性函数的综合题，常作为中考压轴题。
核心知识
规则1
抛物线y=a(x-h)2+k的性质；
一般抛物线y=a(x-h)2+k和y=ax2形状相同，但位置不同。抛物线y=a(x-h)2+k具有以下特征:
(l)当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下；
(2)对称轴是直线x = h；
(3)顶点坐标为(h，k)。
规则2
二次函数y=ax2+bx+c的性质；
Y=ax2+bx+c (a，B，C为常数，a≠0)为二次函数，图像为抛物线。利用公式可以将二次函数表示为y=a(x-h)2+k的形式，由此可以确定这条抛物线的对称轴是一条直线，顶点坐标为A > 0时，开口向上。当a < 0时，开口向下。
规则3
1.二次分辨函数的几种形式
(1)通式:Y = AX2+BX+C (A，B，C为常数，a≠0)。
(2)顶点:y = a (x-h) 2+k (a，h，k为常数，a≠0)。
(3)两个表达式:y = a (X-X1) (X-X2)，其中X1，X2是抛物线与X轴交点的横坐标，即二次方程AX2+BX+C = 0的两个根，a≠0。
描述:(1)任何二次函数都可以通过公式转化为顶点Y = A (X-H) 2+K，抛物线的顶点坐标为(H，K)，当H = 0时，抛物线Y = AX2+K的顶点在Y轴上；k = 0时，抛物线a(x-h)2的顶点在X轴上；当H = 0，K = 0时，抛物线Y = AX2的顶点在原点。
(2)当抛物线y = ax2+bx+c与x轴相交时，即二次方程ax2+bx+c = 0有实根x1之和。
当x2存在时，二次函数y = ax2+bx+c可以根据二次三项式的分解公式转化为两个公式y = a (x-x1) (x-x2)。
2.第二分辨率函数的确定
确定二次分辨函数，一般仍用待定系数法。因为二次分辨函数有三个待定系数A，B，C(或者A，H，K或者A，x1，x2)，所以确定二次分辨函数需要知道三个独立的条件。当抛物线上任意三点的坐标已知时，选择通式是很方便的。抛物线的顶点坐标已知时，选择顶点更方便。当抛物线和X轴的坐标(或横坐标x1，x2)已知时，选择两个公式比较方便。
注:用顶点型或二根型求二次分辨函数时，最后会用到通式。
3.具有二次函数y = AX2+BX+C的图像
二次函数y = AX2+BX+C的图像是一条抛物线，其对称轴平行于(包括重合于)Y轴。
4.二次函数的性质
根据二次函数y = ax2+bx+c的图像，其性质可概括如下:
功能
二次函数y = AX2+BX+C (A，B，C为常数，a≠0)
画
有如
a>0
a<0
(1)抛物线开口向上，无限向上延伸。
(2)对称轴为x =-顶点坐标为(-，)。
(3)当x -时，y随x的增加而增加.
(4)抛物线有最低点。当x =-时，y有最小值，y有最小值=。
(1))抛物线向下开口，无限向下延伸。
(2)对称轴为x =-顶点坐标为(-，)。
(3)当x -时，y随x的增大而减小.
(4)抛物线有最高点。当x =-时，y有最大值，y有最大值=。
5.抛物线顶点、对称轴和最大值的求法。
①配点法:将解析式转化为y = a (x-h) 2+k的形式，以顶点坐标(h，k)和对称轴为直线x = h，若a > 0，y有最小值，当x = h时，y有最小值= k，若a < 0，y有最大值，当x = h时，y有最大值。
②公式法:直接用顶点坐标公式(-，)求其顶点；对称轴是直线x =-，若a > 0，y有最小值；当x =-时，y有最小值=；如果a < 0，y有最大值；当x =-，y有最大值=。
6.用二次函数y = ax2+bx+c画图像
由于二次函数的图像是抛物线和轴对称的，所以在作图时经常使用简化的追点法和五点法，步骤如下:
(1)首先，求顶点坐标，画对称轴；
(2)求抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等。);
(3)用一条平滑的曲线把这五个点从左到右连接起来。
7.二次函数y = AX2+BX+C的图像位置与A、B、C、δ的符号密切相关(见下表):
项目
眼睛
单词
母亲
字母符号
图像的位置
a
a>0
a<0
打开再打开。
b
b=0 ab>0 ab<0
对称轴是Y轴，对称轴在Y轴左侧，对称轴在Y轴右侧。
c
c = 0 c > 0 c < 0
过原点与Y轴正半轴相交与Y轴负半轴相交。
8.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y = ax2+bx+c的像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1和x2是对应的二次方程ax2+bx+c = 0的两个实根。抛物线与x轴的交点可以通过对应的二次方程的根的判别式来判断:
δ > 0的抛物线与X轴有两个交点；
δ = 0抛物线与X轴有1个交点；
δ < 0的对象线与X轴有0个交点(没有交点