微积分问题

1.dy/dx=(xy？-cosxsinx)/[y(1-x？)]，y(0)=2求y

解:ydy/dx=(xy？-cosxsinx)/(1-x？)=xy？/(1-x？)-cosxsinx/(1-x？).............(1)

为了求(1)的解，可以先考虑方程:ydy/dx=xy？/(1-x？)，dy/dx=xy/(1-x？),

Dy/y=xdx/(1-x？)=-d(1-x？)/[2(1-x？)];

积分lny=-(1/2)ln(1-x？)+lnC？=ln[C？/√(1-x？)]

所以y=C？/√(1-x？)..............(2)

设(2) c中的任意常数？换成x的函数u，所以y=u/√(1-x？)............(3)

x的导数:dy/dx=[(du/dx)/√(1-x？)]+[ux/√(1-x？)?]....................(4)

将(3)和(4)代入(1)得到:【u/√(1-x？)]{[(du/dx)/√(1-x？)]+[ux/√(1-x？)?]} =[徐？/(1-x？)?]-cosxsinx/(1-x？)

即u(du/dx)/(1-x？)+徐？/(1-x？)?=徐？/(1-x？)?-cosxsinx/(1-x？)

那么udu/dx=-cosxsinx，而分离变量的udu =-cosxsinxdx = cosxd(cosx)。

u代表积分？/2=(cos？X)/2+C/2，所以u=cosx+C，然后代入(3)得到通解y=(cosx+C)/√(1-x？),

初始条件y(0)=2为2=1+C，所以C=1，所以特解为:y=(cosx+1)/√(1-x？).

2.xydx+(2x？+3y？-20)dy=0，y(0)=1求y。

解法:原公式两边乘以整数因子y？，也是；

xy？dx+(2x？y？+3y^5-20y？)dy=0............(1)

因为？P/？y=4xy？=?Q/？x，所以(1)是一个全微分方程，所以一般解是:

[0，x]∫xy？dx+[0，y]∫(2x？y？+3y^5-20y？)dy=(x？y？/2)+(x？y？/2)+(y^6)/2-5y？=C

有X吗？y？+(y^6)/2-5y？=C

代入初始条件x=0，y=1得到C=1/2-5=-9/2。

所以满足初始条件的特解是x？y？+(y^6)/2-5y？+9/2=0

分母除以2x？y？+y^6-10y？+9=0

3.dy/dx=(-2x+y)？-7，y(0)=0求y。

解法:设u=-2x+y，则y=u+2x，所以dy/dx =(dy/du)(du/dx)+d(2x)/dx = du/dx+2。

所以有du/dx+2=u？-7，du/dx=u？-9、杜/(u？-9)=(1/6)[1/(u-3)-1/(u+3)]du = dx，

积分(1/6)[ln(u-3)/(u+3)]= x+lnC，ln[(u-3)/(u+3)]=6x+lnC。

代入u=-2x+y得到通解:ln[(y-2x-3)/(y-2x+3)]=6x+lnC，即(y-2x-3)/(y-2x+3) = ce (6x)。

代入初始条件x=0，y=0得到C=-1，那么满足初始条件的特解为:

(y-2x-3)/(y-2x+3)=-e^(6x)