高数极限问题
示例1 lim[x-->；√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
lim[x->；√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0
例2李m[x-> 0](lg(1+x)+e^x)/arccosx
lim[x->；0](lg(1+x)+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
=(0+1)/1
=1
2.当分母极限为零且分子极限为不等于零的常数时，使用倒易法。
例3 lim[x->；1]x/(1-x)
∫lim[x-& gt；1](1-x)/x = 0 ∴lim[x->；1] x/(1-x)= ∞
以后当分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时，极限可以直接写成∞。
3.分母极限为零，分子极限为零时用零因子消去(因式分解)法，因式分解是可能的。
例4 lim[x->；1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
lim[x->；1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
= lim[x->；1](x-1)^2/[x(x^2-1)
= lim[x->；1](x-1)/x
=0
例5l im[x-> -2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6]
lim[x->；-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x->；-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x->；-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5
例6 lim[x->；1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
lim[x->；1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x->；1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x->；1](x-2) /[(x-1)
=∞
例7 lim[h->；0][(x+k)^3-x^3]/h
lim[h-& gt；0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h->；0][(x+h)–x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h->；0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2
这其实是为以后衍生做准备。
4.零因子消去(物理化)法，分母极限为零，分子极限为零，不能分解，但可以用在物理化中。平方差、立方差、立方和都可以用于物理化。
例8 lim[x->；0][√1+x^2]-1]/x
lim[x->；0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x->；0][√1+x^2]-1][√1+x^2]+1]/{x[√1+x^2]+1]}
= lim[x->；0][1+x^2-1]/{x[√1+x^2]+1]}
= lim[x->；0] x / [√1+x^2]+1]
=0
例9 lim[x->；-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
lim[x->；-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
= lim[x->；-8][√(1-x)-3][√(1-x)+3][4-2x^(1/3)+x^(2/3]
÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)][√(1-x)+3]}
= lim[x->；4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
= lim[x->；[4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-2
5.零因子替代法。使用第一个重要极限:lim [x-> 0]sinx/x=1，分母极限为零，分子极限为零，不能分解，不能物化，但出现或能转化为sinx/x时使用，三角函数公式经常一起使用。
示例10 lim[x-->；0]sinax/sinbx
lim[x->；0]sinax/sinbx
= lim[x->；0]sinax/(ax)* lim[x-& gt；0]bx/sinbx * lim[x-& gt；0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b
例11 lim[x-->；0]sinax/tanbx
lim[x->；0]sinax/tanbx
= lim[x->；0]sinax/sinbx * lim[x-& gt；0]cosbx
=a/b
6.无穷变换法，在分母和分子都是无穷大的情况下使用，经常借用无穷和无穷小的性质。
示例12 lim[x-->；∞]sinx/x
∵x-& gt；∞ ∴1/x是一个无穷小的量。
∫| sinx |∞]sinx/x = 0
示例13 lim[x-->；∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
lim[x->；∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x->；∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2
示例14 lim[n-->；∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
lim[n->；∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
= lim[n->；∞][n(n+1)/2]/(2n^2-n-1)
= lim[n->；∞][(1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)
=1/4
示例15 lim[x-->；∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
lim[x->；∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x->；∞][(2x-3)/(5x+1)]^20[(3x+2)/(5x+1)]^30
= lim[x->；∞][(2-3/x)/(5+1/x)]^20[(3+2/ x)/(5+1/x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50