高分！求大侠帮忙证明高等代数的线性变换问题

要证明x0是幂零的，我们只需要证明它只有0个特征值。

容易验证，对于任意多项式g(x)，存在g(x0)∈M .

设x0有特征值λ1，λ2，...，λt(不考虑数，两两不相等)。

假设x0有一个非零特征值，设λ1 ≠ 0。

考虑多项式g(x) = (x-λ2)...(x-λt)且f(x) = xg(x)，则f(λ1) ≠ 0。

f(x0)的特征值为f(λ1)，f(λ2)，...，f(λt)(此处允许重复)，除f(λ1)外均为0。

以及f (λ 1) ≠ 0和f (x0) ≠ 0的特征值之和，即tr(f(x0)) ≠ 0。

但如果y = g(x0)∈M，则条件为tr(f(x0)) = tr(x0g(x0)) = 0，这是矛盾的。

所以x0只有0个特征值，所以它是一个幂零线性变换。