一道高中立体几何题

四边形的P-ABCD的底边是边长为1的正方形，PA⊥ BACD的平面，e是PB的中点，f在PD的边上，PA=2。

(1)如果AE⊥CF，求PF: FD的值。

(2)在(1)的条件下，求平面FBC与平面衬垫形成的锐二面角的余弦。

解析:应用向量法解决这类问题相对简单，但也存在一些问题，即在计算过程中，稍有不慎就会导致错误的结果。

∵四角锥P-ABCD，底是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD，e是PB的中点，f在边PD上，PA=2。

建立以A为原点，AD为X轴，AB为Y轴，AP为Z轴正方向的空间直角坐标系A-xyz。

∴点坐标:A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D (1，0)，P (0，0)。

(1)∵AE⊥CF

设F(x，y，z)= = & gt；向量AE=(0，1/2，1)，向量CF=(x-1，y-1，z)。

矢量AE？向量CF？=0+1/2(y-1)+z=0== >y=1-2z

设PF/FD=t

由固定分数点公式得到的f点坐标:

F(t/(1+t)，0，2/(1+t))= = & gt；0 = 1-2 * 2/(1+t)= = & gt；t=3

∴PF/FD=3

(2)∴f(3/4,0,1/2)==>；？向量cf = (-1/4，-1，1/2)

向量CB=(-1，0，0)

设向量n=(x，y，z)是FBC的法向量。

向量CF？向量n=-x/4-y+z/2=0。

向量CB？向量n=-x=0

∴y=z/2

设y=1，则z=2。

向量n=(0，1，2)= = & gt；向量n|=√5

向量ab = (0，1，0)是曲面焊盘的法向量。

向量n？向量AB=1

∴cos<；向量n，向量AB？& gt=向量n？向量AB/(|向量n|？|向量AB|)=1/√5

∴平面FBC与平面PAD形成的尖二面角的余弦为∴ 5/5。