二次函数
测试点扫描
1.二次函数的图像将通过绘图来绘制。
2.抛物线的开口方向、对称轴和顶点位置可用图像或匹配法确定。
3.根据已知图像上三点的坐标，将得到二次函数的解析表达式。
姜静大师
1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各种中，a≠0)的图像形状相同，但位置不同。它们的顶点坐标和对称轴如下:
分析公式
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
顶点坐标
(0,0)
(h，0)
(h，k)
()
对称轴
x=0
x=h
x=h
x=
当h & gt0，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，可以得到y=a(x-h)2的像。
当h < 0时，通过向左平行移动|h|个单位来获得。
当h & gt0，k & gt0，将抛物线y=ax2向右平行移动H个单位，再向上移动K个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图像；
当h & gt0，k & lt0，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动| k个单位，得到y=a(x-h)2+k的图像；
当h < 0，k >时；0，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，得到y=a(x-h)2+k的图像；
当h < 0时，k & lt0，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，得到y=a(x-h)2+k的图像；
因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，并通过公式将通式变为y=a(x-h)2+k的形式，从而确定其顶点坐标、对称轴以及抛物线的大致位置，是非常清晰的，为绘制图像提供了方便。
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像:当a >时；0时，开口向上，而当
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a >；0，当x≤时，y随着x的增大而减小；当x≥时，y随x的增加而增加。如果a
4.图像与抛物线y=ax2+bx+c和坐标轴的交点:
(1)图像必须与Y轴相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△ = B2-4ac >时；0，图像与X轴相交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0。
(a≠0)。这两点之间的距离AB = | x2-x1 | =。
当△ = 0时，图像与X轴只有一个交点；
当△ < 0时。图像与X轴没有交集。当A >时；0，图像落在X轴上方，当X为任意实数时，有y >；0;当a & lt0，图像落在X轴下面，当X是任意实数时，有y
5.抛物线y=ax2+bx+c的最大值:如果a >；0(a & lt；0)，那么当x=时，y =的最小(最大)值。
顶点的横坐标是获得最大值时自变量的值，顶点的纵坐标是最大值的值。
6.用待定系数法求二次函数的解析表达式。
(1)当给定的条件是已知图像通过已知x和y的三个已知点或三对对应值时，解析式可设为一般形式:
y=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)当给定条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，解析式可设为顶点:y = a (x-h) 2+k (a ≠ 0)。
(3)当给定的条件是图像与X轴两个交点的坐标已知时，解析式可设为两个公式:y = a (X-X1) (X-X2) (A ≠ 0)。
7.二次函数的知识很容易与其他知识融合，产生更复杂的综合问题。所以基于二次函数知识的综合题是中考的热点题，往往以大题的形式出现。
中考典型例题
1.(北京市西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是()。
(a)行x=1 (B)行x=-1 (C)行x=2 (D)行x=-2。
测试中心:二次函数Y = AX2+BX+C的对称轴.
点评:由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程为:y=-，在已知抛物线中代入a=1和b=-2得到x=1，所以选项A是正确的。
另一种方法:抛物线公式可以是y=a(x-h)2+k的形式，对称轴是x=h，已知抛物线公式是y=(x-1)2，所以对称轴是x=1，所以应该选A。
2.(北京东城区)有一个二次函数的图像，三个学生描述了它的一些特征:
答:对称轴是直线x = 4；
b:与X轴的两个交点的横坐标为整数；
c:与Y轴相交的纵坐标也是整数，以这三个交点为顶点的三角形的面积是3。
请写出一个满足以上所有特征的二次分辨函数。
考点:二次函数y=ax2+bx+c的解法
注释:设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，设x1 < x2，则图像与y轴的两个交点分别为a (x1，0)和b (x2，0)，与y轴的交点坐标为(0，ax660)。
抛物线的对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4-x1，即:x1+ x2=8 ①。
∵s△abc=3,∴(x2- x 1)| a x 1 x2 | = 3，
即:x2- x1= ②
① ②两个公式加减得到:x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的除数，* *可以取为:1，3。
当ax1x2 = 1，x2=7，x1=1，且a =
当ax1x2 = 3，x2=5，x1=3，a = 3时。
所以解析式为:y = (x-7) (x-1)或y = (x-5) (x-3)。
即y=x2-x+1或y=-x2+x-1或y=x2-x+3或y=-x2+x-3。
注意:在这个问题中，只需填写一个解析式，或者猜测验证即可。比如猜测与X轴的交点是A (5，0)和B (3，0)。然后从问题的条件中找出a，看c是不是整数。如果有，猜测可以验证，填进去就好了。
5.(河北省)如图13-28所示，若二次函数y=x2-4x+3的图像在A点和B点与X轴相交，在C点与Y轴相交，则△ABC的面积为()。
a、6 B、4 C、3 D、1
考点:二次函数y=ax2+bx+c的图像及其性质的应用。
点评:从函数图像中，我们可以知道C点的坐标是(0，3)，然后从x2-4x+3=0，我们可以得到x1=1，x2=3，所以A点和B点的距离是2。那么△ABC的面积就是3，所以应该选C。
图13-28
6.安徽省心理学家研究发现，学生接受概念的能力Y与提出概念的时间X(单位:分钟)之间存在函数关系:Y =-0.1x2+2.6x+43 (0 < x < 30)。y值越大，可接受性越强。
在(1)x的什么范围内，学生的接受能力逐渐增强？在X的什么范围内，学生的接受度逐渐降低？
(2)分数为10时，学生的可接受性如何？
(3)学生对什么分数的接受度最强？
考点:二次函数y = AX2+BX+C的性质
评论:抛物线y=-0.1x2+2.6x+43改为顶点:y=-0.1(x-13)2+59.9。根据抛物线的性质，可知开口向下。当x≤13时，Y随着x的增大而增大，在13时，Y随着x的增大而减小，这个函数的自变量的取值范围是:0≤x≤30，所以两个取值范围应该是0≤x≤13；13≤x≤30 .代入x=10，求函数值。从顶点解析式可知，接受能力在13分钟时最强。问题解决过程如下:
解:(1)y =-0.1x 2+2.6x+43 =-0.1(x-13)2+59.9。
因此，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐渐增强。
当13 < x ≤ 30时，学生的接受能力逐渐下降。
(2)当x=10时，y =-0.1(10-13)2+59.9 = 59。
当分数为10时，学生的接受能力为59。
(3)当x = 13时，y取最大值。
所以在13的分数中，学生的接受能力是最强的。
9.河北省一家商店销售一种水产品，销售成本为每公斤40元。据市场分析，如果按每公斤50元卖，一个月能卖500公斤；销售单价每增加1元，月销量减少10公斤。请回答以下关于该水产品销售的问题:
(1)当销售单价设定为每公斤55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每公斤X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系(不必写出X的取值范围)；
(3)店铺想在月销售成本不超过1万元的情况下，月销售利润8000元。销售单价应该是多少？
解:(1)当销售单价设为每公斤55元时，月销售量为:500-(55–50)×10 = 450(公斤)，则月销售利润为
:(55–40)×450 = 6750(元)。
(2)当销售单价为每公斤X元时，月销售量为[500-(X–50)×10]公斤，每公斤销售利润为(X–40)元，则月销售利润为:
y =(x–40)[500-(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x 2+1400 x-
∴y和x的分辨函数为:y =–10 x2+1400 x–40000。
(3)使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000 = 8000，
即:x2–140 x+4800 = 0，
解:x1=60，X2 = 80。
当销售单价定为一公斤60元时，月销售量为:500-(60–50)×10 = 400(公斤)，月销售成本为:
40×400=16000(元)；
当销售单价定为一公斤80元时，月销售量为:500-(80–50)×10 = 200(公斤)，月销售单价成本为:
40×200=8000(元)；
由于8000 < 10000 < 16000，且每月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每公斤80元。