找几道高中奥数试题

2004年全国高中数学联赛试卷

首次尝试

1.选择题(本题满分36分，每道小题6分)

1.设置一个锐角？让方程x2+4xcos关于x？+cos？=0有多重根，那么？的弧度数是()

A.？6 B？12还是5？12 C？6还是5？12 D？12

2.已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y) | y = mx+b}。如果所有m∈R都有m ∈ n，那么b的取值范围是()。

A.[-62，62] B.(-62，62) C.(-233，233)d .[-233，233]

3.不等式log2x-1+12 log 12x 3+2 >；0的解决方案集是

A.[2，3]b .(2，3)c .(2，4) D.(2，4)

4.重点在哪里？在ABC内部，并且有→OA+2→OB+3→OC=→0，那么？ABC的面积是多少？AOC面积之比为()

A.2 B.32 C.3 D.53

5.设三位数n=？Abc，如果A、B、C是可以构成等腰(包括等边)三角形的三条边，那么这样的三位数n有()。

a . 45 b . 81 c . 165d . 216。

6.顶点为p的圆锥体的轴截面为等腰直角三角形，a为底面圆周上的点，b为底面圆上的点，o为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为b，OH⊥PB，h，PA=4，c为PA的中点，那么当三棱锥O-HPC的体积最大时，OB的长度为

253 C.63 D.263

2.填空(此题满分54分，每小题9分)

7.在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)= asin ax+cosax(a >；0)具有最小正周期长度的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的闭图的面积为；

8.设函数f: r→ r满足f(0)=1，对任意x，y∈R，有f (xy+1) = f (x) f (y)-x+2，则f(。

9.如图，在立方体ABCD-A 1b 1c 1d 1中，二面角A-BD 1的度数为；

10.设P为给定的奇素数，正整数K使K2-PK为正整数，则K =；

11.给定数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3-an+1) (6+an) = 18，且a0=3，则n ∑ i = 06558。

12.在平面直角坐标系xOy中，给定两点M (-1，2)和N (1，4)，点P在X轴上运动。当∠MPN取最大值时，P点的横坐标为；

3.解题(此题满分60分，每小题20分)

13.“过关游戏”的一个规则规定，一个骰子在第n关必须掷出n次，如果这n次掷出的点数之和大于2n，则认为是过关。问:

(1)一个人在这个游戏中最多可以通过多少关？

(2)他过了前三关的概率有多大？

14.在平面直角坐标系xOy中，给定A (0，43)，B (-1，0)，C (1，0)三个点，P点到直线BC的距离是该点到直线AB和AC的距离的等比平均值。

(1)求P点的轨迹方程；

(2)如果直线L经过？ABC的心(设为D)，与点P的轨迹正好有三个公共点，所以求l的斜率k的范围.

15.已知？,?方程4x2-4tx-1 = 0 (t ∈ r)的两个不相等的实根，函数f (x) = 2x-tx2+1的定义域是[？,?].

(1)求g(t)= maxf(x)-minf(x)；

(2)证明:对于ui∈(0，？2) (I = 1，2，3)，若sinu 1+sinu 2+sinu 3 = 1，则1g(tanu 1)+1g(tan U2)+364。

两道测试题

1.在锐角三角形ABC中，AB上的高CE和AC上的高BD相交于H点，直径为DE的圆分别相交于F和G处的AB点和AC点，FG和AH相交于k点，已知BC=25，BD=20，BE=7。求AK的长度。

(此题满分为50)在平面直角坐标系XOY中，Y轴正半轴上的点序列{An}和曲线y=2x(x≥0)上的点序列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=1n，直线AnBn在X轴上的截距为An，点Bn的横坐标为Bn，n。

(1)证明一个& gtan+1 & gt；4，N∈N *；

(2)证明有n0∈N*，这就对了？n & gtN0，都有B2B 1+B3 B2+…+BNBN-1+BN+1bn < n-2004。

(此题满分为50分)对于整数n≥4，求最小整数f(n)使得对于任意正整数m，集合{m，m+1，…，m+n-1}的f(n)的任意子集至少有三个元素成对。

2004年全国高中数学联赛试卷

首次尝试

1.选择题(本题满分36分，每道小题6分)

1.设置一个锐角？让方程x2+4xcos关于x？+cot？=0有多重根，那么？的弧度数是()

A.？6 B？12还是5？12 C？6还是5？12 D？12

解:因为方程有多重根，所以14？=4cos2？-卡特？=0,

∫0 & lt；？& lt？2,?2sin2？=1,=?12还是5？12.选b。

2.已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y) | y = mx+b}。如果所有m∈R都有m ∈ n，那么b的取值范围是()。

A.[-62，62] B.(-62，62) C.(-233，233)d .[-233，233]

解:点(0，b)在椭圆内或椭圆上。2b2≤3，？B ∈ [-62，62]。选择a。

3.不等式log2x-1+12 log 12x 3+2 >；0的解决方案集是

A.[2，3]b .(2，3)c .(2，4) D.(2，4)

解法:设log2x=t≥1，t-1 > 32t-2.t∈[1，2]？X ∈ [2，4]，选c。

4.重点在哪里？在ABC内部，并且有→OA+2→OB+3→OC=→0，那么？ABC的面积是多少？AOC面积之比为()

A.2 B.32 C.3 D.53

解决方法:如图，设置？那么AOC=S？OC1D=3S，？OB1D=？OB1C1=3S，？AOB=？OBD=1.5S？OBC=0.5S，ABC=3S..选c。

5.设三位数n=？Abc，如果A、B、C是可以构成等腰(包括等边)三角形的三条边，那么这样的三位数n有()。

a . 45 b . 81 c . 165d . 216。

解法:(1) 9个等边三角形* * *；

⑵等腰b<等边三角形:取两个不同的数(设为a，b)，有36种取法。当小数为底时，总是可以形成等腰三角形，而当大数为底时，b

可以取156+9=165种数。选c。

253 C.63 D.263

解决方案:AB⊥OB，PB⊥AB，？AB⊥脸POB，？面对PAB⊥面对波布。

OH⊥PB？oh⊥·帕布？OH⊥HC,OH⊥PC，

又来了，PC⊥OC？PC⊥脸OCH..PC是三棱锥的高度p-och。PC = oc = 2。

然后呢。OCH的面积在OH=HC=2时达到最大(斜边=2的直角三角形)。

当OH=2时，从PO=22，我们知道∠OPB=30？，OB=POtan30？=263.

另一种解法:如图，C是PA的中点，所以VO-PBC = 12VB-AOP

而VO-PHC:VO-PBC = phpb = po2pb 2(PO2 = ph？PB)。

还记得PO=OA=22=R，∠AOB=？，那么

VP—AOB=16R3sin？因为？=112R3sin2？，VB-PCO=124R3sin2？。

PO2PB2=R2R2+R2cos2？=11+cos2？=23+cos2？。？PHC=sin2？3+cos2112R3。

∴使y=sin2？3+cos2？，y？=2cos2？(3+cos2？)-(-2sin2？)sin2？(3+cos2？)2=0，得到cos2？=-13,?因为？=33,

∴ OB=263，选d

2.填空(此题满分54分，每小题9分)

7.在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)= asin ax+cosax(a >；0)具有最小正周期长度的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的闭图的面积为；

解法:f(x)= a2+1sin(ax+？)，周期=2？a、取长度为2？a，宽度为2a2+1的矩形。根据对称性，一半面积是需求。所以填2？aa2+1。

另一种解决方法:∫？1?0a2+1[1-sin(ax+？)]dx=a2+1a∫？20(1-Sint)dt = 2paa 2+1。

8.设函数f: r→ r满足f(0)=1，对任意x，y∈R，有f (xy+1) = f (x) f (y)-x+2，则f(。

解法:设x=y=0，使f (1) = 1-1-0+2，？f(1)=2。

设y=1，f (x+1) = 2f (x)-2-x+2，即f (x+1) = 2f (x)-x.①。

另外，如果f(yx+1)= f(y)f(x)-f(x)-y+2，y=1，我们可以得到f (x+1) = 2f (x)-f (x)-655。

比较①和②，f (x) = x+1。

9.如图，在立方体ABCD-A 1b 1c 1d 1中，二面角A-BD 1的度数为；

解:设AB=1，A1M⊥BD1，AN⊥BD1，那么BN？BD1=AB2，？BN=D1M=NM=33。

A1M=AN=63。

∴aa 12 = a 1 m2+Mn2+Na2-2a 1m？NAcos？,?12=23+23+13-2?23cos？,?因为？=12.

=60?。

10.设P为给定的奇素数，正整数K使K2-PK为正整数，则K =；

解法:设K2-PK = N，则(k-P2) 2-N2 = P24，？(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2，？k=14(p+1)2。

11.给定数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3-an+1) (6+an) = 18，且a0=3，则n ∑ i = 06558。

解:1an+1=2an+13，？设bn=1an+13，而b0=23，BN = 2BN-1，？bn=23？2n。即1an = 2n+1-13。n∑I = 01ai = 13(2n+2-n-3)。

12.在平面直角坐标系xOy中，给定两点M (-1，2)和N (1，4)，点P在X轴上运动。当∠MPN取最大值时，P点的横坐标为；

解:当∠MPN最大时⊙MNP和X轴与点P相切(否则⊙MNP和X轴与PQ相交，那么点P在线PQ上？∠MP？n较大)。所以把NM的十字X轴延伸到k (-3，0)，有KM？KN=KP2，？KP = 4。p (1，0)，(-7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径较小，所以点P的横坐标= 1。

3.解题(此题满分60分，每小题20分)

13.“过关游戏”的一个规则规定，一个骰子在第n关必须掷出n次，如果这n次掷出的点数之和大于2n，则认为是过关。问:

(1)一个人在这个游戏中最多可以通过多少关？

(2)他过了前三关的概率有多大？

解决方法:(1)如果他能过N关，在N关投N次，最多得6分。

由6n >决定；2n，知道，n ≤ 4。也就是最多能过4级。

⑵让他在第一关> 2投1分。第二关两次投掷的点数之和>；4.第三关扔三次的点数之和> 8。

第一关通过的概率是46 = 23；

能过第二关的基本事件有62个，过不了第二关的基本事件是不等式x+y≤4的正整数解个数，包括C24(也列举了:1+1，1+2，1+3，2+1，2。

第三级有63个基本项目。过不了关的基本事件是方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可以连写8个1。八隙中选三隙的方法是C38=8？7?63?2?1=56种，未通过测试的概率=5663=727，通过测试的概率= 2027；

∴通过三关的概率=23？56?2027=100243.

14.在平面直角坐标系xOy中，给定A (0，43)，B (-1，0)，C (1，0)三个点，P点到直线BC的距离是该点到直线AB和AC的距离的等比平均值。

(1)求P点的轨迹方程；

(2)如果直线L经过？ABC的心(设为D)，与点P的轨迹正好有三个公共点，所以求l的斜率k的范围.

解法:(1)设点P的坐标为(x，y)，

AB方程:X-1+3Y4 = 1，？4x-3y+4=0，①

BC方程:y=0，②

交流方程式:4x+3y-4 = 0，③

∴ 25|y|2=|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|，

25y2+16x2-(3y-4)2=0，？16 x2+16 y2+24y-16 = 0，

2x2+2y2+3y-2=0。

或者25Y2-16x2+(3Y-4) 2 = 0，？16x2-34y2+24y-16=0，

8x2-17y2+12y-8=0。

∴寻求的轨迹是一个圆:2x2+2y2+3y-2 = 0，④

或者双曲线:8x2-17y2+12y-8 = 0。

但是，应该删除点(-1，0)和(1，0)。

⑵ ?ABC内心D (0，12):通过D的直线为x=0或Y = KX+12.6。

(a)直线x=0与圆④有两个交点，但与双曲线⑤没有交点；

(b)当k=0时，直线y=12，圆④与点(0，12)相切，与双曲线⑤相交于(582，12)，即k = 0满足要求。

(c)当k = 12时，直线⑥与圆只有1个公共点，双曲线⑥最多有1个公共点，故省略。

k？0点钟，好吗？12时，直线⑥与圆有两个公共点，6代入⑥: (8-17k2) x2-5kx-254 = 0。

当8-17k2 = 0或(5k) 2-25 (8-17k2) = 0时，得到k k= 23417，k = 22。

∴k值的范围是{0，23417，22}。

15.已知？,?方程4x2-4tx-1 = 0 (t ∈ r)的两个不相等的实根，函数f (x) = 2x-tx2+1的定义域是[？,?].

(1)求g(t)= maxf(x)-minf(x)；

(2)证明:对于ui∈(0，？2) (I = 1，2，3)，若sinu 1+sinu 2+sinu 3 = 1，则1g(tanu 1)+1g(tan U2)+364。

解决方法:(1)？+?=t，=-14。那又怎样？& lt0,?& gt0.当x1，x2∈[？,?],

∴·f？(x)= 2(x2+1)-2x(2x-t)(x2+1)2 =-2(x2-XT)+2(x2+1)2。而当x∈[？,?]，x2-xt

∴ g(t)= 2？-t？2+1-2?-t？2+1=(2?-t)(？2+1)-(2?-t)(？2+1)(?2+1)(?2+1)=(?-?)【t(？+?)-2+2]?2?2+?2+?2+1

= T2+1(T2+52)T2+2516 = 8 T2+1(2 T2+5)16 T2+25

⑵g(tanu)= 8 secu(2 sec 2u+3)16 sec 2u+9 = 16+24 cos 2 u 16 cosu+9 cos3u≥16616+9 cos2u，

∴1g(tanu 1)+1g(tan U2)+1g(tanu 3)≤1166[16？3+9(cos2u 1+cos2u 2+cos2u 3)]= 1166[75-9(sin2u 1+sin2u 2+sin2u 3)]

以及13(sin 2 u 1+sin 2 U2+sin 2 u 3)≥(sinu 1+sinu 2+sinu 33)2，即9(sin 2 u 1+sin 2 U2+sin 2 u 3)≥3。

∴ 1g(塔努1)+1g(塔努2)+1g(塔努3) ≤ 1166 (75-3) = 364。因为等号不能同时成立，所以证明。

两道测试题

解法:BC = 25，BD=20，BE=7，

∴ CE=24，CD=15。

∵ AC？BD=CE？AB，？AC=65AB，①

∵ BD⊥AC,CE⊥AB？b，e，d，C***圈，

AC(AC-15)=AB(AB-7)，？65AB(65AB-15)= AB(a b-18)，

∴ AB=25，AC=30。？AE=18，AD=15。

∴德=12AC=15。

把AH扩展到BC到p，然后AP ⊥ BC。

∴美联社？BC=AC？BD，？AP=24。

甚至DF，然后是DF⊥AB，

* ae=de,df⊥ab.？AF=12AE=9。

∫D，e，f，G***圈，？∠AFG=∠ADE=∠ABC，AFG∽？ABC，

∴ AKAP=AFAB，？AK=9？2425=21625.

(1)证明一个& gtan+1 & gt；4，N∈N *；

(2)证明有n0∈N*，这就对了？n & gtN0，都有B2B 1+B3 B2+…+BNBN-1+BN+1bn < n-2004。

解:(1)点an (0，1N)，Bn(bn，2bn)？By |OAn|=|OBn|，？bn2+2bn=(1n)2，？bn = 1+(1n)2-1(bn & gt；0).

∴0 & lt；bn & lt12n2..而bn减少，？N2BN = N(N2+1-N)= NN2+1+N = 11+(1N)2+1单调递增。

∴0 & lt；nbn & lt12.？使TN = 1 nbn >；2和tn单调减小。

根据截距方程，bnan+2bn1n=1，(1-2n2bn = n2bn2)。

∴an = bn 1-N2 bn = bn(1+N2 bn)1-2 N2 bn = 1 N2 bn N2 bn =(1 nbn)2+2(1 nbn)= tn2+2tn =(TN+22)2-12 ≥( 2+22)2-12 = 4。

而且因为tn单调递减，我们知道an单调递减，也就是an >；an+1 & gt；4成立。

或者从1n2bn = bn+2.1nbn = bn+2，an=bn+2+2bn+2，.

∴按bn递减，an递减，an >；0+2+2?2=4.

⑵n∑k = 1(1-bk+1bk)> 2004。

1-bk+1bk = bk-bk+1bk = 1+(1k)2-1+(1k)21+(1k)2-1 = k2((1k)2-(65438

≥2k+1(k+1)21+(1k)2+121+(1k)2 & gt；2k+1(k+1)2？12 >1k+2。

∴n∑k=1(1-bk+1bk)>；n∑k = 11k+2 & gt；(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+….

只要n足够大，2004年就有n∑k = 1(1-bk+1bk)>成立。

(此题满分为50分)对于整数n≥4，求最小整数f(n)使得对于任意正整数m，集合{m，m+1，…，m+n-1}的f(n)的任意子集至少有三个元素成对。

解法:(1)当n≥4时，对于集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n-1}，

当m为奇数时，m，m+1，m+2互质；当m是偶数时，m+1，m+2，m+3互质。即m的子集m中有三个两两互素元，所以f(n)存在，f (n) ≤ n.①。

取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则t是M(2，n)={2，3，...，n+1}，其中任意三个都是成对互质。因此，f (n) ≥

但是卡(t)=[n+12]+[n+13]-[n+16]。所以f(n)≥[n+12]+[n+13]-。

从①和②可知，f(4)=4，f (5) = 5.5 ≤ f (6) ≤ 6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8 ≤ f (9) ≤ 9。

现在计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}。任意取五个数，当这五个数中有三个奇数时，这三个奇数互质；当有三个偶数k，k+2，k+4(k？0(mod 2))，其中最多1能被5整除，必须有1能被3整除，所以至少1不能被3和5整除，与另外两个奇数成对互质。因此，f (6) = 5。

而M(m，n+1)=M(m，n)∨{ M+n }，所以f (n+1) ≤ f (n)+1。

∴ f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8。

∴对于4≤n≤9，f(n)=[n+12]+[n+13]-[n+16]+1成立。

假设对于n≤k，④成立。当n=k+1时，因为

M(m，k+1)=M(m，k-5)∩{ M+k-5，m+k-4，…，m+k}。

在{m+k-5，m+k-4，...，m+k}，正好有四个数能被2或3整除。即使把这四个数都拿出来，只要把前面M(m，k-5)中f(n)的个数拿出来，就一定有三个两两素数。

当n≥4时，f(n+6)≤f(n)+4 = f(n)+f(6)-1。

所以f(k+1)≤f(k-5)+f(6)-1 =[k+22]+[k+23]-[k+26]+1，

对比②，我们知道命题对n=k+1成立。

∴对任意n∈N*，n≥4，f(n)=[n+12]+[n+13]-[n+16]+1成立。

您也可以将结果分成几部分:

f(n)= 4k+1，(n=6k，k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈