2006-2009年初中数学联赛试题

2008年全国初中数学联赛

2008年4月13日上午8:30-9:30

1.选择题:(此题满分42分，每小题7分)

1，设a ^ 2+1 = 3a，b ^ 2+1 = 3b，a ≠ b，则代数式+的值为()。

5 (B)7 (C)9 (D)11

2.如图，设AD，BE，CF为△ABC的三个高度。若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长度为()。

(A) (B)4 (C) (D)

3.如果从五张写有数字1、2、3、4、5的卡片中随机抽取两张卡片，将第一张卡片上的数字取为十位数，第二张卡片上的数字取为个位数，组成一个两位数，则组成的数字是3的倍数的概率为()。

(A) (B) (C) (D)

4.在△ABC中，∠ ABC = 12，∠ ACB = 132，BM和CN分别是这两个角的平分线，点M和N分别在直线AC和AB上，则()。

(A)BM & gt；CN(B)BM = CN(C)BM & lt；CN (D)BM和CN的关系不确定。

5.从今天起，相同价格的五种不同商品的价格将分别降低10%或20%。过了几天，这五种商品的价格就不一样了。设最高价与最低价之比是R，那么R的最小值是()。

(A)3(B)4(C)5(D)

6.已知实数x和y满足(x –)(y –) = 2008。

3 x2–2 y2+3x–3y–2007的值是()。

(A)-2008年(B)-2008年(C)-1(D)1

填空:(此题满分28分，每小题7分)

1，设a =，则=。

2.如图，正方形ABCD的边长为1，m和n是BD所在直线上的两点，AM =，∠ man = 135，则四边形AMCN的面积为。

3.已知二次函数y = X ^ 2+a X+b的图像与X轴的两个交点的横坐标分别为m和n，| m |+| n | ≤ 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p和q，则| p |+| q | =。

4.把正整数1，2，3，…的平方排成一串:1491625364964810012165438…，排在第一位。

答案:b，d，c，b，b，d；– 2、、、1。

答案:1。1.根据条件，a2–3A+1 = 0，B2–3B+1 = 0，a ≠ b，

所以a和b是一元二次方程x2–3 x+1 = 0的两个根，所以a+b = 3，a b = 1，

因此+= = = 7；

2.因为AD，BE，CF是△ABC的三个高度，所以很容易知道B，C，E，F四个* * *圈，

所以△AEF∽△ABC，所以= =，也就是cos∠BAC =，所以sin∠BAC =。

在Rt△ABE中，be = absin∠BAC = 6×=；

3.两位数可以由12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，465438+组成。15，21，24，42，45，51，54，* * 8，所以该数是3的倍数的概率为=；

4.∠∠ABC = 12，BM是∠ABC的平分线，∴∠MBC =(180–12)= 84

∠BCM = 180–∠ACB = 180–132 = 48，∴BCM = 180–84–48。∠ACN =(180–∠ACB)=(180–132)= 24，∴∠BNC = 180–

5.很容易知道，四天后，五种商品的价格可以互不相同。

设降价前五种商品的价格为A，N天后，每种商品的价格在N天后就OK了。

表示为a？(1–10%)k？(1–20%)n–k = a？()k？()N–K，其中K为自然数，0 ≤ K ≤ N，要使R的值最小，五种商品的价格应为:A？( )我？()n–我，a？()i + 1？()n–I–1，a？()i + 2？()n–I–2，a？()i + 3？()n–I–3，a？()i + 4？()n–I–4，

其中I是不超过n的自然数，所以R的最小值为=()4；

6、∫(x –)(y –) = 2008,∴x –= =

y +，y-= = x+，

从上面两个公式可以得到X = y，所以(x–)2 = 2008，可以解出x 2 = 2008。

所以3 x2–2 y2+3x–3y–2007 = 3 x2–2 x2+3x–2007 = x2–2007 = 1；

2.1，∫a2 =()2 = = 1–a，∴a 2+a = 1，∴原公式=

= = =–=––( 1+a+a 2)= –( 1+1)=–2；

2.设BD的中点为o，与AO相连，则AO⊥BD，AO = OB =，MO = =，

∴MB =莫–奥布= .∞∠ABM =∠NDA = 135

∠NAD =∠MAN-∠DAB-∠MAB = 135–90-∠MAB = 45-∠MAB =∠AMB，

所以△ADN∽△MBA，所以=，所以DN =？BA = × 1 =，根据对称性，

四边形AMCN的面积为s = 2s△man = 2××Mn×ao = 2×××(++)×=；

3.根据题意，m和n是一元二次方程x 2+a x+b = 0的两个根，所以m+n =–a，m n = b。

∵| m |+| n |≤1,∴| m+n |≤| m |+| n |≤1，| m–n |≤| m |+| n |≤1 .

方程x ^ 2+a ^ x+b = 0△= a ^ 2–4b≥0的判别式，∴b ≤ = ≤

4b = 4m n =(m+n)2-(m–n)2 ≥( m+n)2–1≥–1，所以b ≥–,当m =–n =时得到等号；4 b = 4m n =(m+n)2—(m–n)2≤1—(m–n)2≤1，所以b ≤,当m = n =时得到等号。所以p =，q =–，所以| p |+| q | =；

4、1 ^ 2到3 ^ 2，结果只占1位数，* * *占1 × 3 = 3位数；4 ^ 2到9 ^ 2，结果只占2位数，* * *占2 × 6 = 12位数；从10 2到31 2，结果只占3位数，* * *占3 × 22 = 66位数；从32 ^ 2到99 ^ 2，结果各只占4位数，* * *占4 × 68 = 272位数；从100 2到316 2，结果只占5位数，* *占5 × 217 = 1085位数；此时是2008—(3+12+66+272+1085)= 570位数。从317 2到411 2，结果各取6位，* * *取6 × 95 = 570位。所以第2008位的数应该是411 ^ 2的个位数，即1；

2008年全国初中数学联赛

2008年4月65438+凌晨0:00—165438+凌晨0: 30。

第二个测试(一)

1.(本题满分为20)已知A ^ 2+B ^ 2 = 1，对于所有满足条件0 ≤ x ≤ 1的实数X，不等式A(1–X)–B X(B–X–B X)。

解法:整理不等式(1)，代入a 2+b 2 = 1得到(1+A+B)x2—(2A+1)x+A≥0(2)。

在(2)中，设x = 0，得到a≥0；；设x = 1，得到b ≥ 0。Yizhi 1+a+b > 0，0 & lt；& lt1,

所以二次函数Y =(1+A+B)x2—(2A+1)x+A的像(抛物线)有一个向上的开口，顶点的横坐标在0到1之间。根据问题，不等式(2)对所有满足条件0 ≤ x ≤ 1的实数X成立，因此其判别式△=(2a+1)2–4a(1+A+B)≤0，即a b ≥由方程组(3)

如果排除b，则16 a4–16 a2+1 = 0，所以a 2 =或a 2 =。而且因为a ≥ 0，

所以a 1 =或a 2 =，所以b 1 =或b 2 =。因此，A和B的最小值为0，A和B的值分别为a =，b =和a =，b =。

如图，圆O和圆D相交于点A和B，BC是圆D的切线，点C在圆O上，AB = BC。

(1)证明点O在圆D的圆周上；

(2)设△ABC的面积为S，求圆D的半径r的最小值..

解:(1)偶OA，OB，OC，AC，因为o是圆心，AB = BC，所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA =∠OBC，因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以

(2)设圆o的半径为a，BO的延长线与AC相交于e点，这样就很容易知道BE⊥AC.了设AC = 2 y (0

L2 = y2+(a+x)2 = y2+a2+2a x+x2 = 2a 2+2a x = 2a(a+x)= .

因为∠ABC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO，AB = BC，DB = DO，所以△BDO∽△ABC

所以=，那就是=，所以r =，所以r 2 = =？= ?()3 ≥,即r ≥,其中当a = y时等号成立，当AC为圆的直径o .所以圆D的半径r的最小值为。

3.(此题满分为25)设A为素数，B为正整数，9(2a+B)2 = 509(4a+511b)(1)。

求a和b的值。

解法:(1)公式为()2 =，设m =，n =，则n = m ^ 2，

B = = (2)，so 3n–511m+6a = 0，so 3m 2–511m+6a = 0(3)，从公式(1)，(2 a+b) 2

即关于m的一元二次方程(3)有整数根，所以它的判别式△= 5112–72A是一个完全的平方数。

设△= 5112–72a = T2(自然数)，则72a = 5112–T2 =(511+t)。

因为511+t和511–t的奇偶性相同，511+t≥511，所以只有以下几种情况:

①、②、③、④，分别可以通过两个公式相加得到。

36 a+2 = 1022，18 a+4 = 1022，12 a+6 = 1022，6 a+12 = 1022，都不是。

⑤，⑤，两个公式相加分别得到4 a+18 = 1022，解为a = 251；

2 a+36 = 1022，得到a = 493，493 = 17 × 29不是素数，丢弃。A = 251。

此时方程(3)的解为m = 3或m =(四舍五入)。

将a = 251和m = 3代入等式(2)得到b = = 7。

第二个测试(b)

1.已知a ^ 2+b ^ 2 = 1。对于所有满足x+y = 1且x y ≥ 0条件的实数对(X，Y)，不等式AY2–X Y+B x2≥0(1)成立。当乘积A+Y ≥ 0时，

解:由x+y = 1和x y ≥ 0可知，0 ≤ x ≤ 1和0 ≤ y ≤ 1。在公式(1)中，设x = 0，y = 1，得到a≥0；；设x = 1，y = 0，得到b ≥ 0。将y = 1–x代入公式(1)得到a(1–x)2–x(1–x)+bx2≥0。

即(1+A+B)x2—(2A+1)x+A≥0(2)，易知1+A+B >: 0，0 & lt；& lt1,

所以二次函数Y =(1+A+B)x2—(2A+1)x+A的像(抛物线)有一个向上的开口，顶点的横坐标在0到1之间。根据问题，不等式(2)对所有满足条件0 ≤ x ≤ 1的实数x成立。

所以它的判别式△=(2a+1)2–4a(1+A+B)≤0，即a b ≥如果B从方程组(3)中消去，16 a4–16 a2+1 = 0，所以a 2 =或a 2 =。而且因为a ≥ 0，

所以a 1 =或a 2 =，所以b 1 =或b 2 =。因此，A和B的最小值为0，A和B的值分别为a =，b =和a =，b =。

2.(此题满分为25分)题型及解法同卷(A)第二题。

3.(此题满分为25分)题型及解法同卷(A)第三题。

第二个测试(c)

1.(此题满分为25分)题型及解法同卷(B)第一题。

2.(此题满分为25分)题型及解法同卷(A)第二题。

3.(此题满分25分)设A为素数，B，C为正整数，且满足，求A的值(b+c)。

解:(1)公式为()2 =，设m =，则2b–c =(3)，所以3n–511m+6a = 0，且n = m ^ 2，

因此，3 m2–511m+6A = 0(4)。根据公式(1)，(2A+2B–C)2可以被509整除。

而509是质数，所以2a+2 b–c可以被509整除，所以m是整数。

即关于m的一元二次方程(4)有整数根，所以它的判别式△= 5112–72A是一个完全的平方数。