函数与导数真题及答案解析

函数f (x) = (x2+ax-2a2+3a) ex (x？r)，其中a？R.

当a≠2/3时，求函数f(x)的单调区间和极值。

解:(1)当a = 0时，f (x) = x2ex，f '

(x)=(x2+2x)

Ex，因此f '

(1)=e。

因此，曲线y = f (x)的切线在(1，f(1))点的斜率为e .

(2)f '

(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]

ex，

凌f '

(x) = 0，x =-2a，或者x = a-2。从a≠23，-2a ≠ a-2。

下面分两种情况讨论:

①如果a > 23，-2a < a-2。当x改变时，f '

(x)和f(x)的变化如下:

x

(-∞，-2a)

-2a

(-2a，a-2)

a-2

(a-2，+∞)

f '

(十)

+

—

+

f(x)

↗

最大值

↘

最小值

↗

函数f(x)在x =-2a处取最大值f。

(-2a)= 3ae-2a；

在x = a-2处得到最小值f。

(a-2)=(4-3a)e

a-2；

②若a < 23，则-2a > a-2。当x改变时，f '

(x)和f(x)的变化如下:

x

(-∞，a-2)

a-2

(a-2，-2a)

-2a

(-2a，+∞)

f '

(十)

+

—

+

f(x)

↗

最大值

↘

最小值

↗

函数f(x)在x =-2a处取最小值f(-2a)= 3ae-2a；

在x = a-2时获得最大值f (a-2) = (4-3a) e。

a-2。