初三超难代数奥数题

设方程的两个根分别为a和b，a为正整数。

从维耶塔定理，有:a+b = 8p-10q，ab = 5pq。

∵A是正整数，P和Q是质数，

∴A只能从以下号码中选择:1，5，p，q，5p，5q，pq，5pq。

1.当a = 1，b = 5pq，∴ 1+5pq = 8p-10q，∴ 5q (p+2)-8 (p+2) =-17，

∴(p+2)(8-5q)=17。

∫p+2 > 2，∴ p+2 = 17，所以:p = 15 = 3× 5，与p是素数相矛盾。∴应该放弃这种状况。

2.当a = 5，b = pq，∴ 5+pq = 8p-10q，∴ p (q-8)+10 (q-8) =-85，

∴(8-q)(p+10)=85=5×17。

∫p+10 > 10，∴ p+10 = 17，或者p+10 = 85。

①从p+10 = 17，p = 7，此时，8-q = 5，q = 3。

②由P+10 = 85，我们得到:P = 75 = 5 × 15，与P是素数相矛盾。∴这种情况应该被排除在外。

3.当a = p，b = 5q时，∴ p+5q = 8p-10q，∴ 15q = 7p。

∵q的素数，∴ q = 7，所以有p = 15 = 3× 5。与q是质数相矛盾，这种情况应该放弃。

4.当a = q，b = 5p时，∴ q+5p = 8p-10q，∴ 11q = 3p。

∴p=11、q=3。

5.当a = 5p，b = q时，∴ 5p+q = 8p-10q，∴ 11q = 3p。

∴p=11、q=3。

6.当a = 5q，b = p时，∴ 5q+p = 8p-10q，∴ 15q = 7p。