【排列组合问题常用解法举例】排列组合的经典例子是100
排列组合是历年高考的必考点，其理论基础是两个计数原理。高考针对这部分设置的题型大多属于中低档题，但学生在解排列组合题时，分不清题目是分类还是分步，属于哪种类型，导致错解、漏解或重复计算。因此，教师要引导学生认真审题。特别是有特殊要求的要素或条件，要认真分析，寻找解题的突破口。
第一，抓住问题的本质，对问题进行合理分类，循序渐进。
如果问题与元素的性质有关，则采用分类方法；如果问题是按照事情的发展进程，采取循序渐进的方法。
例1:(2008年理科一卷第12题)如左图所示，一个环形花坛被分成四块，有四种不同的花可供选择。要求每个区块种植1种花卉，相邻两个区块的花卉种类不同，则不同种植方式的总数为()。
公元96年至84年
解析:本题的特殊要求是每个地块种植1种花，相邻两个地块种植不同的花。所以对这个题目有两种理解:花卉可以按A-B-C-D4地块的顺序种植，用计步法分为同种或不同种的A、C花，同种或不同种的B、D花；也可以根据花的种类分为两种花、三种花或四种花。
方案一(循序渐进):第一步，A地有C法；第二步，B中有C种方法；第三步，种C和D，当C和A同色时，有C×C的各种方法，当C和A不同色时，有C×C的各种方法，因此，* *有C× C× (C× C+C× C) = 84的各种方法。所以选了B。
方案二(分类):第一步，有两种花* * *用一种方法；第二步，种三种花，当A和C是同一种花时，有一种方法，当B和D是同一种花时，有一种方法；第三步:四种花的种植方法多种多样。因此，* * *有A+2A+A = 84的多种方法。所以选了B。
二、可用少位数枚举法
枚举逐一列出这些方法。虽然没有其他方法简单，但是会让学生的思维更加严谨清晰，对于初学者学习这部分很有帮助。
例2:有A、B、C、d四种不同的种子，要选三种种子在三块不同的地块上试种。如果选择了A，则必须在第一个地块上进行尝试。有多少种不同的试种方法？
解析:本题的特殊要求是“若选A，必须栽在第一个地块上”，所以元素A可以选，也可以不选。这个问题需要分类解决。
解:如果选A，有A，B，C；甲、丙、乙；a、B、D；a、D、B；a、C、D；有A、D、C六种不同的种植方式，如果不选A，有B、C、D；b、D、C；c、B、D；c、D、B；d、B、C；d、C、B有六种不同的种植方式。所以* *有六种不同的方法:6+6=12。
三、相邻元素绑定方法
相邻元素的排列可以是“从整体到部分”，即相邻元素与其他普通元素一起排列成一个“大元素”，然后再考虑是否排列这个“大元素”的内部。
例3:八个人排成一排，A和B必须分别站在C的两边。排列方式有多少种？
解析:本题的特殊条件是“A、B必须分别站在C的两边”，所以我们要先把A、B、C看成一个“大元素”，然后把这个“大元素”和其他元素完全排列在一起，这也说明了本题要采取循序渐进的方法。
解:第一步，A、B、C内部排列有一种排列；第二步，A、B、C和其他五个元素的整体完全排列。* * *有一种排列，所以* *有AA = 1440种排列。
第四，非相邻元素的插值方法
在解决一些不相邻的问题时，我们可以先把那些没有特殊要求的元素排列起来，再把那些不相邻的元素插入来解决问题。
例4:(2006年湖南文科第6题)数字1，2，3与符号+和-的所有排列中，任意两个数字不相邻的排列个数是()。
A.6 B.12D
解析:本题的特殊要求是“任意两个数不相邻”，属于不相邻问题，用插值法解决。这就需要先排列符号，再插入数字，所以这个问题要逐步解决。
解决方法:第一步先排列符号* * *有排列方法；第二步，插入数字* * *，有多种插入方法。所以* * *，有AA=12种排列方式，所以选B。
五、定位问题优先法
对于有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可以先求解特殊元素或特殊位置，再求解其他元素或位置。这种方法称为特殊元素优先法。一般我们根据元素的特殊性划分类别，先找出每个类别的排列组合数，再根据加法原理找出总数。
例5:(2008年海南、宁夏理科第9题)安排A、B、C三名志愿者参加一项志愿者活动，为期五天，周一至周五。要求每个志愿者参加1天每天最多安排1人，要求A排在另外两个前面。不同的排列方式是* * *。
A.20种B. 30种C. 40种D. 60种
解析:此题的特殊要求是“每人1天参加，每天最多安排1人，要求A排在其他两人前面”，其中A比较特殊，所以要优先安排A哪天参加，并以此为标准分类解决此题。
解:第一类，周一安排A时，* * *有一种安排；在第二类中，当A被安排在星期二时，* * *有一个时间表；第三类，A定在周三的时候，* * *有安排。所以，* * *有a+a+a = 20的排列，所以选A。
六、最多，至少是间接法的问题。
最多或最少有问题的排列组合问题，既可以用分类的方法，也可以用间接的方法来解决，即排除法(全消法)，适用于对立情况明确、易于计算的情况。
例6:(2009年全国卷二理科第10题)甲乙双方从四门课程中各选两门。那么甲乙双方选择的课程至少有1种不同的选择方式。
A.6种B.12种C.30种D.36种。
解析:本题的特殊要求是“A、B选择的不同课程至少有1门”，可以用间接法求解，也可以用几门不同的课程分类求解。
方案一:用间接法，* * *有C？C-C=30个选项。
解决方案二:第一类，刚好有一个区别，* * *有一个CA选择方法；第二类，两门课不同，* * *有C选法。所以，* * *有30种选择方法，所以选择C。
七、以几何为背景的问题要分类讨论。
解决以几何为背景的排列组合问题，关键是抓住点* * *线、点* * *面、线* * *面、线-线交点、面交点进行分类讨论，不要遗漏任何东西。
例7:(2008年重庆文科16题)如果某人有三种灯泡(每种颜色的灯泡都足够)，需要在右图所示的A、B、C、A1、B1、C1六个点各安装一个灯泡，并且要求同一线段两端的灯泡颜色不同。
解析:此题的特殊情况是“同一线段两端的灯泡颜色不同”。我们可以先安装A、B、C三个点，然后是A1，最后考虑安装B1和C1两个点，所以要分类解决。
解决方案:第一步，A、B、C三种方式安装；第二，有一个安装A1的方法。第三步，最后考虑安装C1和B1，有1的方法。所以* * *有一个？A=12安装方法。
八、注意是否有重复堆码的问题。
元素叠放均匀时，往往会有重复，元素叠放不均匀时，一般不会有重复。
例8:(全国卷二理科2010第6题)将编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片分别放入三个不同的信封中。如果每个信封里放两张卡片，把编号为1和2的卡片放在同一个信封里，不同的方法是* *。
A.12种B.18种C.36种D.54种。
解析:本题的特殊要求是“每个信封里放两张卡片，其中编号为1和2的卡片放在同一个信封里”。从要求可以发现，3、4、5、6这四张牌要平均分成两堆。假设有一个C×C的除法，给A和B两个信封，其实除法和这两个信封无关，所以会有重复。
解决方法:第一步，将堆平均分成3、4、5、6，有* * *方法；第二步是将三个组分配到三个信封。* * *有分工。那么，* * *已经？A=18分类，所以选b。
编辑:刘丽英
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