数学线性函数例析
一、线性函数的图像和性质
1.实践和图形:通过以下三个步骤。
(1)列表【一般取两点，根据它们确定一条直线】；
(2)追踪点；
(3)连线可以做一个函数的形象——直线。所以一次函数的图像只需要知道2个点，把它们连成一条直线。(通常找到函数图像与X轴和Y轴的交点)
2.性质:(1)线性函数上的任意点P(x，y)满足方程:y=kx+b(k≠0)。(2)线性函数与Y轴交点的坐标始终为(0，b)，正比函数的像始终与X轴在(-b/k，0)处的原点相交。
3.函数不是一个数字，它是指一个变量过程中两个变量之间的关系。
4.k、B和函数图像所在的象限:
当y=kx时(即b等于0，y与x成正比)
当k > 0时，直线必须经过第一和第三象限，y随x的增大而增大；
当k < 0时，直线必经过第二和第四象限，y随x的增大而减小。
当y=kx+b时:
当k & gt0，b & gt0，那么这个函数的图像经过一、二、三象限。
当k & gt0，b & lt0，那么这个函数的图像经过一个，三个，四个象限。
当k < 0时，b & lt0，那么这个函数的图像经过二，三和四象限。
当k < 0时，b & gt0，那么这个函数的图像经过一、二、四象限。
当b > 0时，直线必须经过第一和第二象限；
当b < 0时，直线必须经过三个或四个象限。
特别地，当b=0时，通过原点o (0，0)的直线代表比例函数的图像。
此时，当k > 0时，直线只经过一个或三个象限；当k < 0时，直线只经过两个或四个象限。
4.特殊位置关系
当平面直角坐标系中两条直线平行时，分辨函数中的k值(即第一项的系数)相等。
当平面直角坐标系中两条直线相互垂直时，分辨函数中k的值为负倒数(即k的两个值的乘积为-1)。
2.确定线性函数的表达式
已知点A(x1，y 1)；B(x2，y2)，请确定过点A和B的线性函数的表达式..
(1)设一个线性函数的表达式(也叫解析表达式)为y = kx+b。
(2)因为线性函数上的任意一点P(x，y)满足方程y = kx+b .所以我们可以列出两个方程:y1 = kx1+b … ①和y2 = kx2+b … ②。
(3)解这个二元线性方程，得到k和b的值..
(4)最后得到线性函数的表达式。
三。常用公式
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)。
2.找到平行于X轴的线段的中点:|x1-x2|/2。
3.找出平行于Y轴的线段的中点:|y1-y2|/2。
4.求任意线段的长度:√ (x1-x2) 2+(y1-y2) 2(注:根号下(x1-x2)和(y1-y2)的平方和)。
5.求二次函数图像的交点坐标:求解二次函数。
两个线性函数y1 = k 1x+y 1 = y2 = k2x+b2使y1x+b1 = k2x+b2将x=x0的求解值替换回y 1 = k，y0)就是y1=k1x+b1和y2 = k2x+B2的交点坐标。
6.求任意两点连接的线段的中点坐标:[(x1+x2)/2，(y1+y2)/2]
7.求任意两点的第一个分辨函数:(x-x 1)/(x 1-x2)=(y-y 1)/(y 1-y2)(其中分母为0，分子为0)。
k b
++在第一、第二和第三象限
+-在象限一、三和四中
-+在象限一、二和四
-在第二、第三和第四象限
8.若两条直线y 1 = k 1x+b 1‖Y2 = K2x+B2，则k1=k2，b1≠b2。
9.如果两条直线y 1 = k 1x+b 1⊥y2 = k2x+B2，则k1×k2=-1。
10.向左移动X表示B+X，向右移动X表示B-X。
11.将Y上移至X +Y，将Y下移至X-Y。
(有一个规律。B项的值等于k乘以上移的单位，减去原B项。)
4.应用(解决问题)
线性函数y=kx+b的性质是:(1)当k >时；0，y随着x的增加而增加；(2)当k < 0时，y随x的增大而减小，下面的问题可以利用线性函数的性质来解决。
首先，确定字母系数的取值范围
示例1。给定比例函数，那么当k
解:根据比例函数的定义和性质，得出m
第二，比较X值或者Y值的大小。
例2。已知点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)是线性函数y=3x+4的像上的两点，Y1 >: Y2，那么x1和x2的关系是()。
A.x 1 & gt；x2 b . x 1 & lt；X2c.x1 = X2D。无法确定。
解:根据题意，k = 3 & gt0，以及y 1 >；y2 .根据线性函数的性质“当k & gt0，y随x”的增加而增加，x 1 >；x2 .所以选a。
第三，判断函数图像的位置
例3。线性函数y=kx+b满足kb >；0，而y随着x的增大而减小，则此函数的图像不通过()。
A.第一象限b .第二象限
C.第三象限d .第四象限
解决方案:通过kb & gt0，知道k和b有相同的数。因为y随着x的增加而减少，k
示例1。一根弹簧，没有悬挂物体12cm，悬挂物体后会伸长，伸长的长度与被悬挂物体的质量成正比。若悬挂一个3kg物体后，弹簧总长度为13.5cm，求弹簧总长度与被悬挂物体质量x(kg)的函数关系。如果弹簧的最大总长度是
解析:这个问题从物理上的定性问题变成了数学上的定量问题，也是一个实际问题。其核心是弹簧的总长度是空载长度和负载后伸长长度之和，自变量的取值范围可以用最大总长度→最大伸长→最大质量和实用思维来处理。
解法:从题意上设置函数为y=kx+12。
那么13.5=3k+12，k=0.5。
分辨率函数为y=0.5x+12。
From 23=0.5x+12: x=22。
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22。
示例2
一所学校需要刻录一些电脑光盘。如果在电脑公司刻录，每张光盘需要8元。学校自己做的话，除了租用120元的刻录机，每张光盘需要刻录4元。这些光盘是在电脑公司刻录便宜还是学校自己刻录便宜？
这个问题要考虑x的范围。
解法:设总成本为Y元，烧X份。
电脑公司:Y1=8X
学校:Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2。
当X & gt30: 00，y 1 >；Y2
当x
烤点之钥
一次函数的定义、图像、性质是中考解释中的C级知识点，特别是根据题中条件求解析函数和用待定系数法求解析函数是中考解释中的D级知识点。常与反比例函数、二次函数与方程、方程与不等式结合，以选择题、填空题、解析题的形式出现在中考试题中，约占8分。为解决此类问题，常采用分类讨论、数形结合、方程和不等式等方法。
例2。如果线性函数y=kx+b中x的取值范围为-2≤x≤6，则对应的函数值范围为-11≤y≤9。求这个函数的解析式。
解:(1)若k > 0，方程组可为-2k+b=-11。
6k+b=9
如果k=2.5 b=-6，那么此时的函数关系为y = 2.5x-6。
(2)若k < 0，则方程组可为-2k+b=9。
6k+b=-11
如果k=-2.5 b=4，那么此时的分辨函数就是y=-2.5x+4。
烤点之钥
此题主要考察学生对函数性质的理解。如果K > 0，Y会随着X的增大而增大；如果k < 0，y随着x的增大而减小。
分辨率函数的几种类型。
①ax+by+c=0【通式】
②y=kx+b[斜向]
(k是直线的斜率，b是直线的纵向截距，比例函数b=0)
③y-y1=k(x-x1)[点斜]
(k是直线的斜率，(x1，y1)是直线经过的点)
④(y-y 1)/(y2-y 1)=(x-x 1)/(x2-x 1)【两点公式】
((x1，y1)和(x2，y2)是一条直线上的两点)
⑤x/a-y/b=0[截距类型]
(A和B分别是直线在X轴和Y轴上的截距)
分析表达式的局限性:
①更多要求(3)；
②、③不能表达没有斜率的直线(平行于X轴的直线)；
④参数多，计算过于复杂；
⑤不能表示平行于坐标轴的直线和通过点的直线。
倾斜角:X轴与直线的夹角(直线与X轴正方向形成的角)称为直线的倾斜角。设直线的倾角为a，则直线的斜率为k=tg(a)