20道初中数学竞赛题中较难因式分解的求解
我们研究了因式分解的四种基本方法:提高公因子、利用公式、交叉乘法和分组因式分解。这里还有两个方法。
1.拆除物品。是的。为了分组后使用公式(包括公式)或提取公因子。
例1因式分解:① x4+x2+12a3+B3+C3-3abc。
①解析:x4+1如果加上2x2可以做成一个完整的平方公式。
解:x4+x2+1 = x4+2 x2+1-x2 =(x2+1)2-x2 =(x2+1+x)(x2+1-x)。
②解析:要使a3+b3变成(a+b)3，需要增加两项3a2b+3ab2。
解:a3+B3+C3-3 ABC = a3+3a2b+3ab 2+B3+C3-3 ABC-3a2b-3ab 2。
= (a+b) 3+C3-3ab (a+b +c)
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+C2]-3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
例2因式分解:①x3-11x+202 a5+A+1。
①分析:将中项-11x分解成-16x+5x分别以X5和20组成两组，则有一个公因子需要提取。(注意这里16是一个完整的平方数)
②解法:x3-11x+20 = x3-16x+5x+20 = x(x2-16)+5(x+4)。
= x(x+4)(x-4)+5(x+4)=(x+4)(x2-4x+5)
③解析:加入两项——a2和A2，分别与a5和a+1组成两组，刚好可以用三次差分公式。
解:A5+A+1 = A5-A2+A2+A+1 = A2(A3-1)+A2+A+1
= a2(a-1)(a2+a+1)+a2+a+1 =(a2+a+1)(a3-a2+1)
2.利用阶乘定理和待定系数法。
定理:(1)若x=a，f(x) = 0，[即f (a) = 0]，则多项式f(x)有第一因子x-a。
⑵若两个多项式相等，则其相似项的系数相等。
例3因式分解:① x3-5x2+9x-6② 2x3-13x2+3。
①解析:将x = 1，2，3，6(常数6的除数)分别代入原公式。如果值为0，可以求首要因子，然后用除法或待定系数法求另一个因子。
解:当x=2，x3-5x2+9x-6 = 0，∴时，原始公式有第一个因子x-2。
∴x3-5x2+9x-6=(x -2)(x2-3x+3)
②解析:用最高阶的系数2的约数1和2分别去掉常数项3的约数。
1，3的商是1，2，0，然后在原公式中分别求这些商。
已知只有当x=时，初始值为0。因此，我们知道有一个因子2x-1。
解:当∵x=，2x3-13x2+3 = 0时，∴原公式有一个初等因子2x-1
设2x 3-13 x2+3 =(2x-1)(x2+ax-3)(A为待定系数)。
比较左右x2的系数，得到2a-1 =-13，a =-6。
∴2x3-13x+3=(2x-1)(x2-6x-3)。
例4因式分解2x2+3xy-9Y2+14x-3y+20
解法:∫2 x2+3xy-9 y2 =(2x-3y)(x+3y)，利用待定系数法，我们可以设
2 x2+3xy-9 y2+14x-3y+20 =(2x-3y+a)(x+3y+b)，其中a和b为待定系数，
比较左右两边x和y的系数，得到
解决
∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)
另一种解法:原公式= 2x2+(3y+14) X-(9y2+3y-20)这是一个关于X的二次三项式。
常数项可以分解为-(3y-4) (3y+5)。利用待定系数法，我们可以设
2 x2+(3y+14)x-(9 y2+3y-20)=[MX-(3y-4)][NX+(3y+5)]
比较左右两边x2和x项的系数，得到m = 2，n = 1。
∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)
练习19
1.分解因子:1x4+x2y2+y42x4+43x4-23x2xy2+y4。
2.分解因子:① x3+4x2-9② x3-41x+30。
③x3+5x2-18 ④x3-39x-70
3.分解因子:① x3+3x2y+3xy2+2y32x3-3x2+3x+7
③x3-9ax 2+27a2x-26 a3④x3+6x 2+11x+6
⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4.分解因子:①3x 3-7x+10x2x 3-11x 2+31x-21。
③x4-4x+3 ④2x3-5x2+1
5.分解因子:①2 x2-xy-3 y2-6x+14y-8②(x2-3x？0?1-3)(x2+3x+4)-8
③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91
6.分解因子:①x2y2+1？0?1-x2-y2+4xy②x2-y2+2x-4y-3
③x4+x2-2ax-a+1④(x+y)4+x4+y4
⑤(a+b+c)3-(a3+b3+c3)
7.已知n是大于1的自然数。证明:4n2+1是一个合数。
8.已知f (x) = x2+bx+c，g (x) = x4+6x2+25，p (x) = 3x4+4x2+28x+5。
而且我们知道f(x)是g(x)的因子，也是p(x)的因子。
求x=1时f(x)的值。
参考答案
练习19
1.添加物品，使其完全平坦(仿3)。2.拆中项，仿1。
3.分解各项，把它们变成两个数和的立方。
①原公式= (x+y) 3+y3...③原公式=(x-3a)3+a3。
⑤原公式=(a+1)3+(b+1)3
4.利用阶乘定理，待定系数法，模仿例5和例6。
④当x =时，原公式=0，有一个因子2x-1。
5.看一个代数表达式的二次三项式，抄例7。
④原公式=(2x-7)(x+3)(2x-5)(x-3)-91 =(2x 2-x-8)(2x 2-x-28)= 1...
6.分组公式
③原公式= (x2+1) 2-(x+a) 2...④对原公式进行乘法扩展，合并，再次分解。
⑤把A =-B代入原公式= 0，那么就有一个因子A+B。
7.乘积可以分解成1以外的两个正整数。
8.提出g (x)和p (x)的和、差、倍数仍有f(x)的因子。
3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与f(x)的比较系数...，f(1)=4。