韩版近世代数试题及答案

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练习1-1(参考溶液)

1.(1)姐妹关系

(2)()()，PS？

(3)()，{1}，1abZab∈？比如(2，6 )2，(3，6 )3，== but () 2，365，438+0 =。

2.如果B不存在，则上述推理是错误的。比如{} {~ ~} sabcrbccbbbcc =，，:，，. 3。(1)反身性:，()，，nAMEGLRAEAE？∈?∈=~AA∴对称性:

1111,,~,,(),,,,().~.nnABMABPQGLRAPBQBPAQPQGLRBA？∈?∑=∈∴传递性:

12211221212，，，~，~，，，，，，()，，，nABCMABBCPQPQGLRAPBQBPCQAPPCQQ？∈?∈===1212,(),~.nPPQQGLRAC∈∴

(2)自反性:1，()，~。namegraaaa∈？∈ =∴对称性:

()11,,~,(),,,(),~.T

TnnABMifABTGLRATBTBTBTTGLRBA？∈?∈=∴=∈∴

传递性:121122，，~，~，，，()，，，ttnabcmifabbcttglratbtct？∈?∈==

()12211221，T

∴ = = 12()，~。nttglrac ∈ ∴ (3)自反性:()1，，~。nagleglreaaa∈？∈ =∴对称性:

1，()，~，()，，nnABGLRifABTGLRATBT∈？∈= ()

1

1

111，()，~nBTATT

ATTGLRBA？∴==∈∴.

传递性:

11121122，，()，~，~，，()，，nnABCGLRABBCTTGLRATBTBTCT？∈?∈== ()()1

1112212121，ATTCTTTTCTT？∴==21(),~.nTTGLRAC∈∴ 4。证明:(1)自反性:，() ()，~aAaaaaφφ？∈=∴Q

(2)对称性:，~，() ()，()，。abaifababababaφφφφ∈= =

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(3)传递性:，，~，~，()，()，()，~。abcaabbcabbcacac φ φ φ φ φ？∈==∴=∴

{}[]|()().axAxaφφ=∈=

5.(1)()SPA？∑，则S=S

~SS∴，~ ∴是反身性的。

(2)设12，()SSPA∈，若12~SS，则12SS=，21SS∴=

21~SS，~ ∴具有对称性。

(3)设123，()SSSPA ∈如果12~SS，23~SS，则12SS=，23SS=

13SS=，13~SS，~ ∴可迁~ ∴是()PA上的等价关系。[] {} {} {}

()

,1,1,2,1,2,3,1,2,3,4~

PAφ=

[]{}φφ=

{}{}{}{}{}{}11,2,3,4=

{}{}{}{}{}{}{}{}1,21,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4= {}{}{}{}{}{}1,2,31,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4= {}{}{}1,2,3,41,2,3,4=

6.证明:(1)反身性:，0，~。aQaaZaa？∈?=∈∴

(2)对称性:设，abQ∈ if ~ab，即abZ？∈那么()，baabZ？=∈ ~ba∴ (3)传递性:设，，abcQ∈ If ~，~abbc，即abZbcZ？∈?因此...

()()，acabbcZ？=?+?∈~ac∴

∴ ~是q上的等价关系，所有等价类是:[]{}|[0，1)。~

Q

AaQa=∈∈和

7.证明:(1)自反性:~aCaaaa？∈=∴Q，，

(2)对称性:abC？∈，如果~ab，那么从ab=，得到~baba=∴,.

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(3)传递性:abcC？∈，，如果~~abbc，，那么abbcac==∴= ∴ =，，那就是~。ac，so ~是等价关系。商集是[] {}

{0}~

C

aaR+=∈U

8.设集合(){}，/，0 sababzb =∈≦，在集合S中指定关系“~”:()，~，abcdabc？=

证明~是等价关系。

证明:反身性: ()，abS？∈，那么abba=，so()()，~，。abab对称性:如果() ()，，abscs∈∈，and()()，ABCD，那么adbc=

所以cbda=，即() ()，~，cdab传递性:if()()，~，abcd and()()，~，cdef。

By()()，~，abcd有adbc=，所以ad

可换股债券

= by()()，~，cdef有cfde=，所以ad

fdeb

=所以adfbde=，

所以afbe=，就是，() ()，~，abef。所以~是等价关系。

9.设{}，，，Aabcd=试写出集合a的所有不同的等价关系.

解:{ } { } { } { } { } { } { } { } 1、、、2、、、3、、、4、、、PABCDPBCDBDBC = = =

{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}5、、、6、、、7、、、8、、、pabcdpaccda = = = = { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 9、、、10、、、11、、、pabcdpacd = = = { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 12、、、65438

10.不用公式(1 .1)就可以直接计算出集合{}1，2，3，4A=的不同分类数。

解:12122121135554254331()(/)(/)65438。