西工大附中有一道真题数学题。

a组

1.已知sin α = 55，sin (α-β) =-1010，且α和β都是锐角，则β等于_ _ _ _ _ _。

解析:∵ α和β是锐角，∴-π 2

∵sinα=55,∴cosα= 1-(55)2 = 255。

∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=22.

∫0 & lt；β& lt；π2, ∴ β = π4.答案:π 4

2.已知0

分析:∫0

∴cosβ= cos[(α+β)-α]= cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-45)×35+(-35)×45 =-2425。回答:-2425。

3.如果tanα和tanβ是方程x2-3x-3中的两个= 0，那么sin (α+β) cos (α-β) = _ _ _ _ _ _。

解析:tan α+tan β = 3，tan α tan β =-3，则sin(α+β)cos(α-β)= sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ。

= tanα+tanβ1+tanαtanβ= 31-3 =-32。回答:-32。

4.Cos (α-π 6)+sin α = 453，则sin (α+7π 6)的值为_ _。

解析:从已知的32cosα+12sinα+sinα = 453，即12cosα+32sinα = 45，

Sin (α+π 6) = 45，SIN (α+76 π) =-SIN (α+π 6) =-45。回答:-45。

5.(原问题)定义操作A？B = A2-AB-B2，那么sinπ12？cosπ12=________。

分析:sinπ12？cosπ12 = sin 2π12-sinπ12-cos 2π12 =-(cos 2π12-sin 2π12)-12×2。

6.已知α∈(π2，π)，sin α 2+cos α 2 = 62。

(1)求cosα的值；(2)若sin (α-β) =-35，β∈(π2，π)，求cosβ的值。

解:(1)因为sin α 2+cos α 2 = 62，两边同时平方时sin α = 12。

π 2

(2)因为π 2

Sin (α-β) =-35，COS (α-β) = 45。

cosβ= cos[α-(α-β)]= cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

=-32×45+12×(-35)=-43+310.

b组

1.cos2α1+sin2α？1+tan α 1-tan α的值是_ _ _ _ _ _。

分析:COS2α 1+SIN2α？1+tanα1-tanα= cos 2α-sin 2α(sinα+cosα)2？1+tanα1-tanα

=cosα-sinαsinα+cosα？1+tanα1-tanα= 1-tanα1+tanα？1+tanα1-tanα= 1。

2.Cos (π 4+x) = 35，那么sin2x-2sin2x1-tanx的值就是_ _ _ _ _ _。

解析:∫cos(π4+x)= 35，∴ cosx-sinx = 352

∴1-sin2x=1825,sin2x=725,∴sin2x-2sin2x1-tanx=2sinx(cosx-sinx)cosx-sinxcosx=sin2x=725.

3.已知cos (α+π 3) = sin (α-π 3)，则tan α = _ _ _ _ _ _。

解析:cos(α+π3)= cosαcosπ3-sinαsinπ3 = 12 cosα-32 sinα，sin (α-π 3)。

= sinαcosπ3-cosαsinπ3 = 12 sinα-32 cosα，

由:(12+32)sinα=(12+32)cosα，tan α = 1可知。

4.设α ∈ (π4，3π4)，β ∈ (0，π4)，COS (α-π 4) = 35，SIN (3 π 4+β) = 513，则SIN (α+β) = _ _ _。

解析:α ∈ (π 4，3 π 4)，α-π 4 ∈ (0，π 2)，而cos (α-π 4) = 35，∴ sin (α-π 4) = 45。

∵β∈(0,π4),∴3π4+β∈(3π4,π).∵sin(3π4+β)=513,∴cos(3π4+β)=-1213，

∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(3π4+β)]

=-cos(α-π4)？cos(3π4+β)+sin(α-π4)？sin(3π4+β)=-35×(-1213)+45×513 = 5665，

也就是sin (α+β) = 5665。

5.已知cos α = 13，cos (α+β) =-13，α，β∈(0，π2)，则cos (α-β)的值等于_ _ _ _ _ _。

分析:√α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)。∫cosα= 13，∴ Cos2α = 2cos2α-1 =-79。∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+429×223=2327.

6.给定角度α在第一象限，cosα= 35°，则1+2 cos(2α-π4)sin(α+π2)= _ _ _ _ _ _。

解析:∵ α在第一象限，且COS α = 35，∴ SIN α = 45，则1+2 cos(2α-π4)sin(α+π2)= 1+2(22 cos 2α+22 sin 2α)cosα=

7.已知a = (cos2α，sinα)，b = (1，2sinα-1)，α∈(π2，π)，如果a？B = 25，那么tan (α+π 4)的值就是_ _ _ _ _ _。

分析:a？b = cos 2α+2 sin 2α-sinα= 1-2 sin 2α+2 sin 2α-sinα= 1-sinα= 25，∴ sinα = 35，且α∈(π2，π)，∴ cosα =

8.tan 10 tan 70 tan 70-tan 10+tan 120的值是_ _ _ _。

解析:Tan(70-10)= Tan 70-Tan 10 1+Tan 70？tan10 =3，

因此，将tan 70-tan 10 = 3(1+tan 70 tan 10)代入代数表达式:

tan 70 tan 10 3(1+tan 70 tan 10)+tan 120 = tan 70 tan 10 3(1+tan 70 tan 10)-3 = tan 70 tan 10 3 tan 70 tan 10 = 33。

9.给定角α的终边过A点(-1，15)，sin (α+π 4) sin2α+cos2α+1的值等于_ _ _ _ _ _。

解析:∫sinα+cosα≠0，cos α =-14，∴sin(α+π4)sin 2α+cos 2α+1 = 24 cosα=-2。

10.评价:cos20 sin20？cos 10+3 sin 10 tan 70-2cos 40。

解:原公式= cos 20 cos 10 sin 20+3 sin 10 sin 70 cos 70-2 cos 40。

= cos 20 cos 10+3 sin 10 cos 20 sin 20-2cos 40

= cos 20(cos 10+3 sin 10)sin 20-2cos 40

= 2cos 20(cos 10 sin 30+sin 10 cos 30)sin 20-2cos 40

= 2 cos 20 sin 40-2 sin 20 cos 40 sin 20 = 2。

11.给定向量m = (2cosx2，1)，n = (sinx2，1) (x ∈ r)，设函数f (x) = m？n-1。

(1)求函数f(x)的值域；(2)锐角△ABC的三个内角分别称为A、B、C。如果f (a) = 513，f (b) = 35，求f(C)的值。

解法:(1) f (x) = m？n-1=(2cosx2，1)？(sinx2，1)-1 = 2 cos x2 sin x2+1-1 = sinx。

∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[-1，1]。

(2)∵f(a)=513,f(b)=35,∴sina=513,sinb=35.

∵A和b是锐角，∴cosa = 1-sin2a = 1213，COSB = 1-SIN2B = 45。

∴f(c)=sinc=sin[π-(a+b)]=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

= 513× 45+1213× 35 = 5665.∴ f (c)的值是5665。

12.已知:0

(1)求sin2β的值；(2)求COS的值(α+π 4)。

解法:(1)方法一:∫cos(β-π4)= cosπ4 cosβ+sinπ4s inβ= 22 cosβ+22 sinβ= 13，

∴cosβ+sinβ=23,∴1+sin2β=29,∴sin2β=-79.

方法二:sin 2β= cos(π2-2β)= 2 cos 2(β-π4)-1 =-79。

(2)∵0 & lt；α& lt；π2 & lt；β& lt；π,∴π4<；β-π4 & lt；3π4，π2 & lt；α+β& lt；3π2,∴sin(β-π4)>；0，cos(α+β)& lt；0.

∵cos(β-π4)=13,sin(α+β)=45,∴sin(β-π4)=223,cos(α+β)=-35.

∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)

=-35×13+45×223=82-315.

第二节三角函数的和与差两个角和双角

a组

1.若sin α = 35，α ∈ (-π2，π2)，则COS (α+5π 4) = _ _ _ _ _ _。

解析:由于α ∈ (-π2，π2)和sin α = 35，cos α = 45，由两个角的和差余弦公式得出:cos(α+5π4)=-22(cosα-sinα)=-210。

2.已知π<θ& lt；32π，则12+1212+12 cosθ= _ _ _ _ _ _。

解析:∫π<θ& lt；3π2,∴π2<；θ2 & lt；3π4，π4 & lt；θ4 & lt；3π8.

12+12 12+12 cosθ= 12+12 cos 2θ2

= 12-12cosθ2=sinθ4。

3.计算:COS 10+3 sin 10 1-COS 80 = _ _ _ _ _。

分析:cos 10+3 sin 10 1-cos 80 = 2 cos(10-60)2 sin 240 = 2 cos 50 2 sin 40 = 2。

4.函数y = 2cos2x+sin2x的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

解析:y = 2 cos2x+sin2x = sin2x+1+cos2x = sin2x+cos2x+1。

=2sin(2x+π4)+1≥1-2。

5.函数f(x)=(sin2x+12010 sin2x)(cos2x+12010 cos2x)的最小值是_ _ _ _ _ _。

分析:f(x)=(2010 sin 4x+1)(2010 cos 4x+1)20102 sin 2 xcos 2 x

= 20102 sin 4x cos 4x+2010(sin4x+cos 4x)+120102 sin 4x cos 2x

= sin 2 xcos 2 x+201120102 sin 2 xcos 2 x-22010≥22010(2011-1)。

6.已知角度α∈(π4，π2)，(4cosα-3sinα) (2cosα-3sinα) = 0。

(1)求Tan (α+π 4)的值；(2)求COS (π 3-2 α)的值。

解:∫(4 cosα-3 sinα)(2 cosα-3 sinα)= 0，

α∈(π4，π2)，∴ tan α = 43，sin α = 45，cos α = 35，

(1)tan(α+π4)= tanα+tanπ41-tanαtanπ4 = 43+11-43 =-7。

(2)cos2α=2cos2α-1=-725，sin2α=2sinαcosα=2425，

cos(π3-2α)= cosπ3c OS 2α+sinπ3s in 2α= 12×(-725)+32×2425 = 243-750。

b组

1.如果Tan (α+β) = 25，Tan (β-π 4) = 14，则Tan (α+π 4) = _ _ _。

解析:Tan(α+π4)= Tan[(α+β)-(β-π4)]= Tan(α+β)-Tan(β-π4)1+Tan(α+β)Tan(β-π4)= 25-65438。

2.若α+cos α = 0中的3s，则1cos2α+sin2α+sin2aα的值为_ _ _ _ _ _。

解析:Cosα =-3sinα由3sinα+Cosα = 0，则1 cos 2α+sin 2α= sin 2α+2 sinαcosα= 9 sin 2α+sin 2α9 sin 2α-6 sin 2α= 103。

3.设A = SIN 14+COS 14，B = SIN 16+COS 16，C = 62，则A、B、C的关系为

解析:a = 2sin59，c = 2sin60，b = 2sin61，∴ a

或a2 = 1+sin28

4.2+2cos8+21-sin8的简化结果是_ _ _ _ _ _。

解析:原公式= 4 cos 24+2(sin 4-cos 4)2 = | 2 cos 4 |+2 | sin 4-cos 4 | =-2 sin 4。

5.如果tan α+1tan α = 103，α∈(π4，π2)，则sin (2α+π 4)的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。

解析:根据题意，Tan α = 3，Sin (2α+π 4) = 22 (Sin2α+Cos2α)，而Sin2α = 2Tanα 1+Tan2α = 35，cos 2α= 1-Tan 2α1+Tan 2α=

6.如果函数f (x) = sin2x-2sin2x？Sin2x(x∈R)，那么f(x)的最小正周期是_ _ _ _ _ _。

解析:f(x)= sin2x(1-2 sin2x)= sin 2 xcos 2 x = 12 sin4x，所以t = 2π 4 = π 2。

7.2coS5-sin25 cos25的值是_ _ _ _ _ _。

分析:从已知公式:原公式= 2cos(30-25)-sin 25 cos 25 = 3 cos 25 cos 25 = 3。

8.向量A = (COS 10，sin10)，B = (COS 70，sin70)，| A-2B | = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

分析:| a-2b | 2 =(cos 10-2 cos 70)2+(sin 10-2 sin 70)2 = 5-4 cos 10 cos 70-4s in 10 sin 70。

9.给定1-cos2α sin α cosα = 1，tan (β-α) =-13，则tan (β-2α) = _ _ _ _ _ _。

解析:因为1-cos2α sin α cosα = 1，即1-Tan 2α1+Tan 2α= 12×2 Tanα1+Tan 2α，2 Tanα= So Tan(β-2α)= Tan(β-α-α)= Tan(β-α)-Tanα1+Tan(β-α)Tanα=-65438

10.已知tan α = 2。求(1) tan (α+π 4)的值；(2)sin 2α+cos 2(π-α)1+cos 2α的值。

解:(1)∫tan(α+π4)= 1+tanα1-tanα，Tan α = 2，∴ Tan (α+π 4) = 1+21-。

(2)sin 2α+cos 2(π-α)1+cos 2α= 2 sinαcosα+cos 2α2cos 2α= 2 sinα+cosα2cosα= tanα+12 = 52。

11.如图，A点和B点是单位圆上的两点，分别在第一和第二象限。C点是圆与X轴正半轴的交点，△AOB是正三角形。若A点坐标为(35，45)，写∠ COA = α。

(1)求1+sin 2α1+cos 2α的值；(2)求|BC|2的值。

解:(1)∫A的坐标为(35，45)。根据三角函数的定义，sin α = 45，cos α = 35，∴1+sin 2α1+cos 2α= 1+2。

(2)∫△AOB是一个正三角形，∴∠AOB = 60°。∴cos∠cob = cos(α+60)= cosαcos 60-sinαsin 60。= 35× 12-.

∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|？| OB | cos∠COB = 1+1-2×3-4310 = 7+435。

在12。△ ABC，A，B，C的对边是A，B，C，TANC =新浪+辛布科萨+COSB，SIN (B-A) = COSC。(1)如果S △ ABC =,则求角度α，β

解:(1)因为tanc = Sina+sinbcosa+cosb，即sinccosc = Sina+sinbcosa+cosb，

所以sincccosa+sincccosb = cosccina+cosccsinb，

即sinc cosa-cosc Sina = cosc sinb-sinc cosb，

Sin (c-a) = sin (b-c)，

所以c-a = b-c，或者c-a = π-(b-c)(不成立)，

也就是2c = a+b，c = π 3，所以b+a = 2 π 3。

因为SIN (B-A) = COSC = 12，那么B-A = π 6或者B-A = 5π 6(丢弃)

得到a = π 4，b = 5π 12。所以a = π 4，c = π 3。

(2)S△ABC = 12 AC SINB = 6+28 AC = 3+3，asinA=csinC，即a22=c32，

得到a = 22，c = 23。