开放画笔:Lec #20信号与系统的拉普拉斯变换

视频课可以在网易公开课上看到。搜索麻省理工信号与系统，老师是教材作者。

p.417 - p.430

简单看完拉普拉斯变换的推导，重点看下面五个例子。

学习拉普拉斯变换，我建议回去看看当时学习傅立叶变换的笔记。傅立叶变换是分析信号和LTI系统的有力工具，因为许多种类的信号可以表示为周期复指数信号的线性组合，而复指数信号是LTI系统的本征函数。

当时在研究连续时间傅里叶变换时，我们将信号表示为复指数信号的线性组合，其中，其实特征函数的性质适用于任何值，不限于纯虚数。推而广之，连续时间有拉普拉斯变换，离散时间有z变换。

当我们学习傅立叶级数时，我们知道对于单位冲激响应为的线性时不变系统，当输入为时，输出为，

其中，

对于纯虚数的情况，即傅立叶变换的；对于一般的复变量，称为拉普拉斯变换。

我们将信号的拉普拉斯变换定义如下，

和之间的对应关系表示如下:

其中，是它的实部和它的虚部。当，上述公式成为的傅立叶变换，即

当不是纯虚数时，拉普拉斯变换和傅立叶变换也有对应关系，用下面的公式代替。

上式的右边可以看作是傅里叶变换，换句话说，拉普拉斯变换可以看作是一个实指数信号相乘后的傅里叶变换。根据的符号，实指数信号可能衰减或增加。

我们来看课本上的两个例子。

例9.1拉普拉斯变换

这个信号很常见。我们在研究傅里叶变换的时候做了它的傅里叶变换，它的傅里叶变换在时间上是收敛的，因为只有这样信号才是绝对可积的。

现在让我们找到它的拉普拉斯变换，

替换为，

可以看出，上述公式是傅里叶变换，因此可以得出结论，

因为，因此，

例9.2解的拉普拉斯变换

对于这个例子，如果要保证收敛，就需要，也就是总结一下，

从例9.1和例9.2可以看出，拉普拉斯变换可能对某些值收敛，对另一些值不收敛，就像所有信号的傅立叶变换不收敛一样。在例9.1中，拉普拉斯变换只是收敛的，如果是正的，就可以求值，因此，

这就是我之前提到的。因为拉普拉斯变换等于傅立叶变换。如果为负或0，拉普拉斯变换仍然存在，傅立叶变换不存在。

比较比较例9.1和例9.2的结果，我们发现两个不同的信号可能具有相同的拉普拉斯变换表达式，但是拉普拉斯收敛域不同。所以我们在给出信号的拉普拉斯变换时，也必须给出拉普拉斯变换的表达式及其收敛域ROC)！！

收敛域的定义:使拉普拉斯变换整体收敛的值的范围，即对于这些，傅立叶变换收敛。下图是例9.1和例9.2收敛域的S平面表示。

上图阴影部分代表辐合区(能看清楚吗？。)，横轴为轴，纵轴为轴。

让我们再看两个例子，了解拉普拉斯变换的收敛域。

示例9.3

现在来确定收敛域，我们可以看到它是两个实指数信号之和，一个是，另一个是，从例9.1我们知道，

为了使拉普拉斯变换收敛，需要保证上述两个拉普拉斯变换收敛，即它们收敛域的交集。因此，

示例9.4

首先用欧拉公式对其进行变形，

利用线性特性，它可以表示为三个信号的拉普拉斯变换的和，然后，

为了使上述三个拉普拉斯变换收敛，那么收敛域就是它们的交集。总而言之，

上述四个例子的拉普拉斯变换可以表示为两个复变量多项式的比值，即

其中是分子多项式，分子英文的分子首字母，分母多项式，分母英文的分母首字母。只要是实指数或复指数信号的线性组合，就一定是有理的。

分子多项式的根称为零点，用来表示零点在S平面上的位置。分母多项式的根称为极点，极点的位置在S平面上用表示。如下图所示，是例9.3和例9.4的拉普拉斯变换S面表示。

所谓零极点图，就是用S平面上的极点和零点来表示。除了常数因子之外，有理拉普拉斯变换的完整特征包括变换的零极点图及其收敛域。

在情况9.3和9.4中，分母多项式比分子多项式高1。如果分母多项式高于分子多项式，当它接近无穷大时会趋于零，所以9.3和9.4两种情况都在无穷远处有一个零点。反之，如果分母多项式的阶比分子多项式的阶低，且差为阶，则无穷远处存在阶极点。

示例9.5

上式中，最后两项的拉普拉斯变换可以用例9.1的结果得到。现在得到第一项的拉普拉斯变换，直接应用拉普拉斯变换的公式。

拉普拉斯变换的分子多项式和分母多项式是同阶的，所以在无穷远处既没有极点也没有零点。它的零极点图和收敛域如下图所示，收敛域在下图虚线的右边。

回顾拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系，如果信号的拉普拉斯变换收敛域包含轴，那么信号的傅立叶变换收敛；如果不是，那么它的傅立叶变换就不会收敛。例9.5中信号的傅立叶变换不收敛。

理解下面列出的收敛域的八个属性，

下面的例子9.8说明了收敛域和零极点图的关系。

示例9.8

图(a)是的零极点图，分别位于和。图(b)是右信号时的收敛域，收敛域位于最右极点的右侧。图(c)是左信号时的收敛域，收敛域位于最左侧极点的左侧。图(d)是双边信号时的会聚区，会聚区如果存在，将位于左极点和右极点之间的带区。

为了完整起见，我试着写下上述公式的推导过程，因为的拉普拉斯变换是

其中，在收敛域中，使用逆傅立叶变换，

将上述公式的左右两边同时相乘得到

注意在上面的公式中，积分变量为0，所以为了恢复，我们可以在收敛域中从变为的值集上得到积分，即积分路径是S平面中满足的直线，平行于轴。而不是，，得到的拉普拉斯逆变换公式。

这太麻烦了。。。

一般求有理拉普拉斯逆变换的方法是展开，然后根据收敛域就可以确定拉普拉斯逆变换，如例9.9所示。

示例9.9

展开，

所以有两个极点，因为的收敛域是，两项收敛域的交集是因为

所以去吧