积分真题讲解

(1)

曲线积分I =∫(L)(x ^ 2-y ^ 2)dx，其中L为y = x ^ 2，y ^ 2 = x ^ 4，x的取值范围为0-2。

I = ∫ (0，2)(x2-x4)dx(x的2个端点的值=0，2；y已经重写为x ^ 2，所以不需要担心y的2个端点的值)

=[x^3/3 -x^5/5] (x=0，2)

=(8/3-0)-(32/5-0)(x^5=2^5=32 ∵x^3=2^3=8)

=(40-96)/15=-56/15

(2)

l先分成两部分，(0，0)到(1，0)；(1，0)到(1，1)

第一部分积分

∫(0，0) xdy-∫(0,1)(x^2-y^2)ydx

=0-∫ (0，1)(x2-0 ^ 2)* 0dx(首次积分的原点=终点，∴首次积分= 0；第二次积分中Y=0)

=0

整合的第二部分

∫(0，1)xdy-∫(1,1)(x^2-y^2)ydx

=∫(0，1) dy -0(第一次积分中，x=1，第二次积分中，原点=终点，第二次积分=0)。

=1-0=1

L的总积分=第一部分积分+第二部分积分=1