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取等号当且仅当a=b=c b = c。

求解综合法。因为a > 0，b > 0，c > 0，所以有

三种类型被划分和添加，你得到

取等号当且仅当a=b=c b = c。

例2设t > 0。证明:任意自然数n的不等式

tn-nt+(n-1)≥0

两者都为真，解释了等号在什么条件下为真。

解当n=1时，不等式明显成立，取等号。

当n≥2时，将不等式除以幂，可以得到以下n-1个不等式:

t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，…

tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t

以上范畴相等当且仅当t=1。把它们加在一起，你就得到。

因此，对任意n ∈ n证明了不等式，如果n=1或t=1，等号成立。

注①设上述不等式中t = 1+x (x >-1)，得到著名的伯努利不等式(1+x)n≥1+nx。

例3设A，B，C为正数，证明不等式。

取等号当且仅当a=b=c b = c。

有很多奇妙的方法可以证明这个案例。根据对称性，我们可以从左边的一两项入手，当然也可以根据均值不等式或幂分不等式从整体入手。

解法【方法1】始于一项，适当匹配后由均值不等式可知。

三个配方相除，相加得到最终产品。

当，上面的公式带等号。

[方法二]从二出发，利用幂分不等式，有

同样地

三种类型被划分和添加，你得到

【方法三】从整理开始，原不等式等价于

进一步证明参考习题5-2-7(1)的解法。

【方法4】从均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的变分

三种类型被划分和添加，你得到

因此

注从证明4可以看出，利用均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，

类型不等，思维自然，简单明快，颇具特色。

例4已知关于X的实系数方程x2+px+q=0有两个实根α，β。证明:若| α | < 2，| β| < 2，则| q | < 4，且2 | p | > 4+Q。

解决维耶塔定理已知的| q |q|<4的问题。

|q|=|αβ|=|α| |β|<2×2=4

再次证明2 | p | > 4+q。

要证明的不等式是0 ≤ 2 | α+β | < 4+α β。因此，只需要证书。

4(α+β)2<(4+αβ)2

即4α+8α β+4β 2 < 16+8α β+α 2β 2。

所以你只需要证明这一点

16-4α2-4β2+α2β2>0

即(4-α 2) (4-β 2) > 0

从| α | < 2，| β| < 2，我们知道α 2 < 4，β 2 < 4，所以最后一个不等式成立，证明了原来的不等式。

例5证明了如果A、B、C是三角形的三条边，那么

3(a b+BC+ca)≤(a+b+c)2 < 4(a b+BC+ca)

当且仅当三角形是正三角形时，左边相等。

解左边的不等式等价于

3(a b+BC+ca)≤a2+B2+C2+2(a b+BC+ca)

如果要证明这个不等式，只需要证明就可以了。

ab+bc+ca≤a2+b2+c2

直接证据

2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0

左边的公式是

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0

这个不等式显然成立，当且仅当a=b=c，即三角形是正三角形，它取等号。因此证明了左不等式。

如果要证明右边的不等式，只需要证明就可以了。

a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)

所以你只需要证明这一点

(a b+AC-a2)+(a b+BC-B2)+(BC+ca-C2)> 0

直接证据

a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)>0

由于A、B、C是三角形的三条边，这个不等式显然成立，所以证明了右不等式。

综上，证明了原不等式。

例6设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，并证明:

(2)如果| p |+| q | < 1，f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。

用归谬法解决

但是，

| f(1)|+2 | f(2)|+| f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)

=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)= 2(ii)

(I)和(ii)是矛盾的，所以假设不成立，即原命题成立。

(2)假设f(x)=0的两个x1的绝对值不都小于1，我们不妨设|x1|≥1，那么维耶塔定理有

| p | = |-(x 1+x2)| = | x 1+x2 |≥| x 1 |-| x2 |≥1-| x2 |

| q | = | x 1x 2 | = | x 1 | | x2 |≥| x2 |

这两种类型相除相加，你得到

|p|+|q|≥1

这与题目相矛盾，所以假设不成立，即证明原命题。

注意反证法的逻辑程序是:否定结论→推导矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明困难命题，或者结论中含有“不存在”、“全是”、“无”、“至少”、“至多”等存在性命题。

不等式证明知识综述

河北/赵春香

不等式证明问题由于题型繁多、方法多样、技巧性强，往往不是一种方法就能解决的，没有固定的规律可循。是各种方法的灵活运用，是各种思维方法的集中体现，所以很难。解决这个问题的方法在于掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

首先，对主要观点进行分析

1.比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一。它是两个实数的大小顺序和运算性质的直接应用。比较法可分为差比较法(简称求差法)和商比较法(简称求商法)。

(1)差比较法的理论基础是不等式的基本性质:“A-B≥0A≥B；a-b≤0a≤b .一般步骤如下:①作差:考察不等式左右两边形成的差公式，并作为一个整体对待；(2)变形:不等式两边之差变形为常数、几个因子的乘积、一个或几个平方的和等。，其中变形是差分法的关键，公式和因式分解是常用的变形手段；③判断:根据已知条件和上述变形结果，判断不等式两边差的符号，最终肯定不等式成立的结论。应用:当不等式两端为多项式、分数或对数时，一般采用差比较法。

(2)商比较法的理论基础是:“若A，b∈R+，A/B≥1A≥B；a/b≤1a≤b .一般步骤如下:①商:左右两端商；②变形:将商简化为最简单的形式；③判断商与1的关系是指商大于1或小于1。适用范围:当证明的不等式两端含有幂和指数表达式时，一般采用商比较法。

2.综合法以已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)为基础，借助不等式的性质和相关定理，通过渐进的逻辑推理，最终推导出待证明的不等式。其特点和思路是“从因到果”，从“已知”到“需要知道”并逐步推导出“结论”。逻辑关系为:ab1b2b3...bnb，即不等式成立的必要条件，由已知的A逐步推导，得出结论B。

3.解析方法就是从需要证明的不等式中分析出这个不等式成立的充分条件，然后转化为判断那个条件是否满足。其特点和思想是“视果”，即从“未知”到“已知”。用解析法证明AB的逻辑关系为BB1B1 B3 … BnA，写法为:为了证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，所以有…，只需要证明B2为真，所以有…，只需要证明A为真，但已知A为真，所以B一定为真。这个模型告诉我们，解析方法是寻求最后一步的充分条件。

4.反证法对某些不等式的证明，从正面证明看不清楚，但可以从正面难度和反面角度考虑，即证明不等式A & gtB，先假设A≤B，从题目和其他性质推导矛盾，从而肯定A & gt乙.凡证明中涉及的不等式为否定命题、唯一命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语的，可以考虑反证法。

5.换元法和换元法引入一个或多个变量来代替一些结构复杂、变量多、变量间关系不清的不等式，从而简化原有结构或实现某种变换和变通，给证明带来新的启示和方法。有两种主要的替代形式。(1)三角替换法:常用于证明条件不等式。当给定的条件比较复杂，一个变量不容易用另一个变量表示时，可以考虑用三角代换，用同一个参数表示两个变量。如果这种方法运用得当，可以沟通三角学与代数学的关系，将复杂的代数问题转化为三角问题。根据具体问题，三角形代换方法如下:①若x2+y2=1，设x=cosθ，y = sinθ；②如果x2+y2≤1，x=rcosθ，y = rsinθ(0≤r≤1)；(3)对于所包含的不等式，由于|x|≤1，我们可以设x = cosθ；(4)如果x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC可知，x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量替换法:在对称公式(两个字母任意互换，代数公式不变)和给定的字母顺序(如A >；b & gtc等。)，考虑用增量法换元素，目的是通过换元素来减少元素，使问题变难变易，化繁为简。比如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或者a=1/2+t，b=1/2-t进行代入。

6.标度法标度法是证明不等式A

二、艰难的突破

1.用商比较法证明不等式时，要注意分母的正负符号，以确定不等式的方向。

2.分析法和综合法是对立统一的两个方面。前者因为方向明确，思维自然，容易掌握，所以有利于思维。后者是由因引起的，适合表达，因为组织清晰，形式简洁，适合人的思维习惯。但用分析的方法来探究和证明不等式只是一种重要的方式，并不是一种好的写作形式，因为描述起来比较复杂，不写“只是证明”这几个字就会出错。以综合写作的形式，隐藏了分析探索的过程。所以证明不等式时，分析和综合往往是分不开的。如果用综合法证明不等式，很难探索出用解析法证明问题的途径，然后用综合法的形式写出其证明过程，以适应人们习惯的思维规律。有些不等式很难证明，需要同时进行分析和综合，以达到两端向中间倾斜来证明问题的目的。这充分说明了分析与综合互为前提、相互渗透、相互转化的辩证统一。分析的结束是综合的起点，综合的结束成为进一步分析的起点。

3.分析证明，过程中的每一步都不一定是“分步可逆”，也没有必要要求“分步可逆”，因为这个时候，我们只需要找到充分条件，而不是充要条件。如果一定要“逐步可逆”，就限制了解析方法解决问题的范围，使解析方法只能用来证明等价命题。用分析方法证明问题时，一定要恰当地使用“证明”、“仅证明”、“立即证明”、“立即证明”等词语。

4.用归谬法证明不等式时，需要从命题结论对立面的各种情况中推导出矛盾。

5.在三角形代换中，由于已知条件的限制，引入的角度可能会有一些限制，这一点要非常注意，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点和难点，要注意整体思想的应用。

6.用标度法证明不等式时，要把握好“标度”的尺度，即要适当、适度，否则达不到预期目的或得出错误结论。此外，要把握清楚是分组单独定标还是单独定标，是根据不平等的结构特征局部定标还是整体定标。

(摘自:考试报告，高二数学版，2004年7月20日)

1，比较法(差值法)

比较两个实数之和的大小时，可以通过的符号来判断。一般步骤是:差-变形-判断(加号，减号，零)。常用的变形方法有:公式、一般除法、因式分解、和差积、应用已知定理和公式等。

示例1，已知:，证明:。

证明:因此。

2、分析方法(逆方法)

从要证明的结论出发，一步一步推导，最终达到命题的已知条件(明显成立的不等式，已知的不等式等。)，而且每一步的推导过程都必须是可逆的。

例2，验证:。

证明:想证明就证明，就是、、、、反算就能得到。

3.综合方法

证明问题时，从已知条件入手，逐步推导逻辑，利用已知的定义、定理、公式等，是常用的方法。最终得出证明的结论。

示例3:已知:，使用相同的编号，验证:。

证明:因为，同数，所以，那么，就是。

4.商法(比较法)

证明问题时，一般当两者都是正数时，用或的方式判断大小，步骤一般是商-变形-判断(大于1或小于1)。

示例4:设置并验证:

证明:因为，因此，。因此。

5.归谬法

先假设要证明的结论是错误的，然后通过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，推导出结论的正确性，达到证明问题的目的。

例5。已知它是一个大于1的整数。证明:。

证明:假设，那么，那就是，因此，这与已知的相矛盾，所以。

6、重叠法(还原法)

首先将待证明的结论分解成几个简单的部分，证明每个部分成立，然后利用同一个不等式的加法或乘法的性质证明原不等式。

示例6:已知:，，验证:。

证明:因为，

因此...

通过柯西不等式

于是证明了原来的不等式。

7、缩放法(增减法、加强不等式法)

在证明问题的过程中，根据不等式的传递性，往往通过舍弃一些正项(或负项)，或者用更大(或更小)的数代替和(或积)中的项，或者放大(或缩小)分数中的分子(或分母)，从而达到证明的目的。值得注意的是，“放”和“缩”都要适当，不要过度。常见的方法有:改变分子(分母)标度法、分解标度法、分组标度法和寻找“中间量”标度法。

例7，验证:。

证明:那么，秩序

,

因此...

8.数学归纳

对于包含的不等式，取第一个值时不等式成立，如果取第一个值时不等式能被证明为真，那么对于取第一个值后的自然数，这个不等式肯定能成立。

示例8:已知:，，验证:。

证明了:(1)当，不等式成立；

(2)如果这是真的，那么

= ,

这是既定的。

根据(1)和(2)，它适用于所有大于1的自然数。

9.替代方法

在证明问题的过程中，采用变量代换的方法选取合适的辅助未知数，简化了问题的证明。

示例9:已知:，验证:。

证明:如果，，那么，

(因为，)，

因此...

10，三角形替换法

借助三角变换，可以改变证明中的一些问题。

示例10，已知:，证明:。

证明:集，则；那好吧

因此...

11，判别方法

通过构造一元二次方程，当一元二次三项式有实根时，利用判别式的值域证明待证不等式。

示例11，设置并验证:。

证据:那就定了

换句话说，就是

因为，，所以就是，

因此，解决方案。

12，标准化方法

形式的函数，其中，和

是常数，的值越接近，的值就越大(或不变)；时，取最大值，即

。

标准化定理:当A+B为常数时，有。

证明:A+B=C，那么

,

推导，从C=2A，也就是A = B

也知道A = B时必须得到最大点。

因为当A=B时，得到不等式。

同样，它可以扩展到变量的情况。

示例12。设A、B、C为三角形的三个内角，证明:。

证明:由标准化定理可知，当A=B=C，，取最大值，所以。

13，方程法

应用一些方程的结论，可以巧妙地证明一些难以证明的不等式。

例13(1956波兰数学竞赛)，对于三边长，验证:

。

证明:根据海伦公式，

其中就有。

两边是正方形，移动的项目被排列

所以。

14，函数极值法

通过变换，把一些问题归纳起来求函数的极值，从而证明不等式。

示例14，假设，验证:

证明:

当，取最大值；

当，取最小值-4。

因此。

15，单调函数法

当它属于某个区间时，如果存在，它会单调上升；如果是，那就单调递减。推广的话，认证的话，只需要认证就可以了。

示例15，验证:。

证明:何时，以及

故得之。

16，中值定理法

利用中值定理证明了一些不等式:是定义在区间上的连续函数，可微，所以存在且满足，目的简单。

示例16，验证:。

证据:那就定了

因此。

17，分解方法

按照一定的规则，将一个数或公式分解成若干个数或公式，使复杂的问题转化为简单易解的基本问题，从而分而治之，逐个击破，达到证明不等式的目的。

示例17，，和，验证:。

证明:因为

因此...

18，施工方法

证明不等式时，有时通过构造一些模型、函数、恒等式、复数等。，就能达到简单、轻巧、灵动的目的。

例18，已知:，，证明:。

证明:根据题目，构造复数，那么，

因此

因此。

19，排序方法

利用秩不等式证明一些不等式。

排序不等式:若，，则有。

，其中是的排列。取等号当且仅当或。

缩写有:逆序和无序序和同序和。

示例19，验证:。

证明:因为序，同序之和按序不等式最大，即。

20、几何方法

在几何图形的帮助下，利用几何或三角知识可以使一些证明变得更容易。

示例20:已知且已验证:。

证明:以斜边为斜边，以直角为棱。

将AB延伸到D，make，make，将AC延伸到E，make，使以C为AD的平行线穿过DE到F，然后∽，make，

因此

再说一遍，就是这样。

此外，重要的不等式可以用来证明问题，如平均不等式、柯西不等式、詹森不等式、绝对不等式、J .伯努利不等式、赫尔德(O.H？Lder)不等式、三角形不等式、H.Minkowski不等式等。，在这里都不上心。

在实际证明中，上述方法往往是相互结合、相互包含的，可能会同时使用几种方法进行证明。

参考

[1]李宇琪编辑？初等代数研究？北京:中国矿业大学出版社，1993。

[2]方楚宝等？谈谈数学猜想的想法？重庆:科技文献出版社重庆分社，1988。

[3]吴德峰？不等式和线性规划？北京:科学普及出版社，1983