解析几何

每次和同学聊起高考数学，大家似乎都有同感:高中数学难，高考数学难解析几何。其实并不是。解析几何题有自己的路径和方法可循。只要精心准备，正确指导，高考数学解析几何期末题是可以变成让学生自信的中等题的。

我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势:

(1)题型稳定:近几年高考解析几何题一直稳定在3道(或2道)选择题、1道填空题、1道答题，分值在30分左右，占总分的20%左右。

(2)总体平衡，突出重点:考试说明中解析几何原有的33个知识点缩减为19个知识点，一般考查50%以上的知识点，其中直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏。通过知识的重组，注重全面，突出重点，保证支撑数学学科知识体系的骨干知识。近四年新教材高考解析几何的考查主要集中在以下几类:

①求曲线方程(类型已确定，类型待定)；

(2)直线与圆锥曲线的相交(包括相切问题)；

③与曲线相关的最大(极值)值问题；

④与曲线相关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行度和垂直度)；

⑤探索曲线方程中几何量与参数之间的定量特征；

(3)能力与构思，渗透数学思想:如2000年题(22)中，双曲线的概念和性质与坐标法、分界点坐标公式、偏心率等知识融为一体，非常全面。虽然有些问题是常见的基础题，但是借助数形结合的思想，我们可以快速准确地得到答案。

(4)题型新颖，位置不确定:近几年几何题分析难度降低，选择题和填空题都容易平均，解答题可能不在压轴位置，计算量减少，思维量增加。加强与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等。)，并在教材中突出探究性学习的能力要求。增加探索性问题的权重。

在最近的高考中，对直线和圆的考查主要分为两部分:

(1)用选择题考查本章的基本概念和性质。这类题一般不难，但年年必考。检查内容主要包括以下几类:

①与本章概念相关的问题(倾角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等。);

②对称性问题(包括点对称和直线对称)的解法要记忆；

③对于与圆的位置相关的问题，常规的方法是研究圆心到直线的距离。

和其他“标准件”类型的基本问题。

(2)通过解题考察直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，难度大。

预计在未来一两年内，高考这一章的考试将保持相对稳定，即在种类、数量、难度和重点考试内容上不会有大的变化。

相比较而言，圆锥曲线的内容是平面解析几何的核心内容，所以是高考的重点内容。每年的高考试卷中，一般有2 ~ 3道客观题和1道解析题，分易、中、难。主要内容有圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥的位置关系等。从近十年的高考题来看，大致有以下三类:

(1)研究圆锥曲线的概念和性质；

(2)求曲线方程和轨迹；

(3)关于直线与圆、圆锥曲线的位置关系。

选择题主要关注椭圆和双曲线，填空题关注抛物线，解法关注直线和圆锥曲线的位置关系。对于求曲线方程和轨迹的题，高考一般不给出图形，以测试学生的想象力和分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法。一般不单独考查圆，总是直线和圆锥曲线相结合的综合题。等边双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移一般简化方程，多以选择题形式出现。解析几何的解法一般是个难题。近两年来，我们考察了解析几何的基本方法——坐标法和圆锥曲线性质应用的命题趋势，以引起我们的注意。

请注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的背景平面几何的一些性质。从近两年的考题来看，解析几何题有前移的趋势，这就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫。参数方程是研究曲线的辅助工具。高考题中更多涉及到参数方程与常方程相互转化、等价变换的数学思想方法。

这部分考试大纲的变化是(1)，简单线性规划从2008年理解提高到理解，(2)，椭圆的参数方程从2008年理解提高到理解。

2004年到2008年解析几何的命题都是“一大两小”——一个一解题和两个客观题，大部分都是以平面向量为基础，与圆锥曲线的交点整合，构建一个知识网络圆锥问题，使得平面向量和解析几何的知识很好的融合在一起。集中考查考生的综合知识和适应能力。

考察的重点在于轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系，而等价关系往往是通过联立和消去直线与圆锥曲线方程，借助维耶塔定理的生成和向量桥建立起来的。考题涉及的知识问题有求曲线方程、参数范围、最大值、定值、直线过定点、对称性等，要掌握这些问题的基本解法。

命题特别注重对思维严谨性的考查，解题时需要考虑以下问题:

1，设置曲线方程时，看焦点在哪个坐标轴上；注意方程的待定形式和参数方程的使用。

2.直线斜率的存在或不存在，斜率为零，在相交问题中要注意“D”的影响。

3.给出命题结论的方式:弄清楚题目中给出的小题是平行题还是递进题。如果前后分题各有加强条件，则为并列关系，不能使用前后分题结论后面的分题；但考题往往给出一个递进关系，包括(1)，第一题求曲线方程，第二题讨论直线与圆锥曲线的位置关系，(2)第一题求偏心距，第二题结合圆锥曲线的性质求曲线方程，(3)探索题。解题时要考虑根据不同的情况应用不同的解题技巧。

4.如果题目条件结合向量知识，还要注意向量的给定形式:

(1)，直接反映图形的位置关系和性质，比如？=0，=()，λ，以及通过三角形“四个中心”的向量表达式等。

(2) = λ:如果已知m的坐标，用向量展开；如果m的坐标未知，根据定分点公式代入m点坐标。

(3)如果题目条件由多个向量表达式给出，则考虑其图形特征(数形结合)。

5.考虑二次曲线第一种定义和第二种定义的区别，注意二次曲线性质的应用。

6.注意数形结合，特别注意图形所反映的平面几何性质。

7.解析几何题的另一个重点是学生的基础计算能力，所以学生普遍觉得解析几何题很难处理。因此，我们有必要发现和积累一些常见的公式变形技巧，如假分数的分离技巧、对称代换技巧、用维耶塔定理代换构造对称公式的技巧、构造均值不等式的变形技巧等，以提高解题速度。

8.平面解析几何和平面向量都具有数形结合的特点，所以结合在一起。在他们知识点的交叉点上提出，也是高考命题的一大亮点。直线和圆锥曲线的位置关系是一个常新常新的关键点。此外，圆锥曲线中的取值范围、最大值、定值、参数的对称性等综合问题也是高考中的常见题型。一般来说，解析几何题计算量大，需要一定的技巧，需要仔细计算。近年来解析几何的难度有所下降，但仍然是一道综合题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验。是高考题中划分较大的题目。

例1已知点A (-1，0)，B(1，-1)，抛物线。，o为坐标原点，通过A点的运动直线L在m，p点与抛物线c相交，直线MB在另一点Q点与抛物线c相交，如图。

(1)如果△POM的面积为，求矢量与的夹角。

(2)试证明直线PQ通过一个定点。

虽然高考命题千变万化，但只要我们认真研究考纲，近三年的高考题和2010的模拟题，找出一些相应的规律，就能大胆猜测出高考解题命题的一些思路和趋势来指导我们后期的复习。对待高考要采取正确的态度，同时要更加注重基础知识的进一步巩固，多做简单的综合练习，提高解题能力。

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