找出下列高中数学竞赛题的答案
3.很明显，下面依次讨论m≡0，1，2，3(mod4)。
若m≡0(mod4)，则A [1] ≡ M 5+487 ≡ 487 ≡ 3 (mod 4)，A [2] ≡ A [1] 5+487。但完全平方数取4的模余0或1，所以A[n]中最多有一个完全平方数(A[0])。
如果m≡1(mod4)，那么很容易知道A[1]≡0(mod4)，A[2]≡3(mod4)，A[3]≡2(mod4)，A [4]。
同样的分析，如果m≡2或3(mod4)，那么A[n]中不可能有完全平方数。
由上可知，A[n]中至多有两个完全正方形，它们只能是A[0]和A[1]。我们来求M的值使得A[0]和A[1]是完全平方。
设A[0]=m=k？，那么设a[1]= m 5+487 = k 10+487 = n？,∴487=n？-k^10=(n-k^5)(n+k^5)。注意487是质数，那么n-k ^ 5 = 1，n+k ^ 5 = 487，解就是k=3，∴m=9.经测试，当m=9时，A[0]和A[1]都是完全平方数，所需m为9。
4.a？+b？=(a+b)(a？+b？-ab) = p n，显然a+b >；1，然后p|a+b
如果p=3，那么a？+b？=(a+b)(a？+b？-ab)=3^n。设置a？+b？-ab=3^i
如果i≤1，当i=0时，a？+b？-ab=1，那么1=a？+b？-ab≥ab，∴a=b=1，3 n = 2，矛盾！；当i=1，3=a？+b？-ab≥ab，∴ A，和b，至少其中一个是1，和3|a+b，∴和另一个是2。此时，3 n = 9和∴n=2，从而得到两组解(1，2，3，2)。
如果n≤2，很容易知道n≠0，当n=1 (a+b)(a？+b？-ab)=3，那么a+b=3，a？+b？-ab=1≥ab，矛盾！当n=2时，那么a？+b？=(a+b)(a？+b？-ab)=3^2,∴a+b=a？+b？-ab=3，这样A和B分别是1和2。即，获得两组先前获得的解(1，2，3，2)和(2，1，3，2)。
即当i≤1或n≤2时，有两组解(1，2，3，2)，(2，1，3，2)，
如果i≥2(即a？+b？-ab≥9)且n≥3，则3|a+b，而3？|a？+b？-ab=(a+b)？-3ab,∴3？|3ab，也就是3|ab，∴3|a和3|b，所以(a/3)？+(b/3)？=(a/3+b/3)((a/3)？+(b/3)？-(a/3) (b/3)) = 3 (n-3)，如果还有(a/3)？+(b/3)？-(a/3)(b/3)≥9且n-3≥3，则重复上述步骤k次(a/3 k)？+(b/3^k)？=(a/3^k+b/3^k)((a/3^k)？+(b/3^k)？-(a/3 k) (b/3 k)) = 3 (n-3k)。这个时候有(a/3 k)吗？+(b/3^k)？-(a/3 k) (b/3 k) ≤ 3或n-3k≤2。根据上面的分析，A/3 k = 1，B/3 k = 2，n-3k=2或者A/3 k = 2，B/3 k = 2。这里，(1，2，3，2)和(21，3，2)也可以推广。验证了(3 k，2.3 k，3，3 k+2)和(2.3 k，3k，3，3k+2) (k ∈ n)是原方程的解。
如果p≠3
如果n≤2，很容易知道n≠0，而当n=1时，a？+b？=(a+b)(a？+b？-ab)=p,∴a？+b？-ab=1≥ab，a+b=p，∴a=b=1，p=2。此时得到一组解(1，1，2，1)。如果n=2，那么a？+b？=(a+b)(a？+b？-ab)=p^2,∴a+b=p^2,a？+b？-ab=1还是p=a+b=a？+b？-ab .如果前者是a=b=1，P 2 = 2，矛盾！所以p=a+b=a？+b？-ab≥ab,∴a≥b(a-1)。如果a和b都不小于2，那么a≥b(a-1)≥2(a-1)，且a≤2，∴a=2，那么b？+4-2b=b+2，得到b=1或2，∴p=3或4，矛盾！A和B中至少有一个是1。当a=1时，B？+1-b=b+1，b=2。同样，当b=1，a=2，p=3，这是矛盾的！
综上，当n≤2时，有一组解(1，1，2，1)。
如果n≥3，那么(a/p)？+(b/p)？= p (n-3)，如果此时仍有n-3≥3，继续重复，k次后(a/p k)？+(b/p^k)？=p^(n-3k)。此时设n-3k≤2。如上分析，a/p k = b/p k = 1，p=2，n-3k = 1，而a = b = 2 k，p = 2，n = 3k+65438+。
综上所述，(a，b，p，n) = (3 k，2.3 k，3，3 k+2)或(2.3 k，3k，3，3k+2)或(2 k，2 k，2，3k+650)。
5.假设有这样的n。
因为n没有平方因子，并且能被2011个不同的素数整除，所以设n = p [1] p [2]...p [2011]，其中p [1]，p [2]。p[2]& lt；...& ltp[2011].
∫n | 2n+1，∴ p [1] | 2 n+1，2n≦-1(modp [1])，∴2(p[1]-1)≡1(modp[1])，∴ 2 (2n，p[65438+)很容易知道n与p[1]-1互质(否则n有一个小于p[1]且大于1的因子)，∴(2n,p[1]-1)=2，∴
设k = p [2] p [3]...p [2011]，则p [2] | 2 (3k)+1 = 8 k+1，∴ 8 k ≦。即8 ^ 2≡1(MODP[2])，p[2]|63，且P [2] > 3，则p[2]=7。
∴ 7 | 8 k+1，但是8k+1≡1k+1≡2(mod 7)，矛盾！
不存在这样的n。