初中数学竞赛试题及答案
首次尝试
一、选择题(本题满分42分，每道小题7分)
1.如果，那么(一)
A.24。c。d。
2.在△ABC中，如果最大角度∠A是最小角度∠C的两倍，且AB = 7，AC = 8，则BC = (c)。
A.。乙。c。d。
3.最大的整数不大于，方程的解的个数是(c)。
A.1。B. 2。C. 3。D. 4。
4.设正方形ABCD的圆心为点O，从所有以A、B、C、D、O五点为顶点的三角形中随机取出两个。它们面积相等的概率是(b)。
A.。乙。c。d。
5.如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 2，若以BC为直径在矩形中做一个半圆，半圆从A点的切线AE，CBE = (d)。
A.。乙。c。d。
6.设它是大于1909的正整数，这样完全平方数的个数是(b)。
A.3. BC5。D. 6。
二、填空(此题满分28分，每小题7分)
1.已知为实数，如果是关于一个二次方程的两个非负实根，则的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
2.设D为△ABC的AB边上的一点，设DE//BC在E点与AC相交，DF//AC在f点与BC相交，给定△ADE和△DBF的面积分别为和，四边形DECF的面积为_ _ _ _ _。
3.如果实数满足条件，那么_ _ _ _ _。
4.如果已知是正整数，并且满足是整数，那么这样的有序数对* * *有_ _ 7 _ _对。
第二个测试(一)
1.(此题满分为20)已知二次函数的图像与轴的交点为A和B，与轴的交点为c .设△ABC的外接圆的圆心为点p .
(1)证明⊙P与轴的另一交点是不动点。
(2)若AB恰好是⊙P的直径，则求和。
解(1)很容易找到点的坐标为，设，，然后，。
设⊙P与轴的另一交点为d，因为AB和CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为O点，所以OA× OB = OC× OD，那么。
因为，所以点在轴的负半轴上，所以点D在轴的正半轴上，所以点D是一个固定点，它的坐标是(0，1)。
(2)因为AB⊥CD，如果AB恰好是⊙P的直径，那么c和d关于点o对称，那么该点的坐标为
即。
再次，所以
，解决方案。
设CD为直角三角形ABC的斜边AD上的高度，分别为△ADC和△BDC的心，AC = 3，BC = 4，求。
答案是e中的E⊥AB，f中的F⊥AB
在直角三角形ABC中，AC = 3，BC = 4，.
而CD⊥AB，可以通过射影定理得到，因此，
。
因为e是直角三角形ACD的内切圆半径，=。
连接D和D，则D和D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC = ∠ DA = ∠ DC = ∠ DB = 45，所以∠ D =90，所以D∞。
同理可得。所以=。
3.(本题满分25分)已知为正数，满足以下两个条件:
①
②
证明了三条边可以构成直角三角形。
证明1乘以① ②得到，
也就是说，
也就是说，
也就是说，
也就是说，
也就是说，
就是，就是，
也就是说，
所以或或，就是或或。
所以以三条边为长，就可以形成一个直角三角形。
证法2结合公式1，可由公式2得出。
变形，得到③
它也由公式(1)获得，即，
代入方程3，你就得到，也就是。
,
所以或者或者。
结合①公式，或可得。
所以以三条边为长，就可以形成一个直角三角形。
第二个测试(b)
1.(此题满分为20)题型及解法同卷(a)第一题。
2.(此题满分为25)已知在△ABC，∠ACB = 90°时，AB边的高线CH与△ABC的两条平分线AM和BN相交于P和Q，PM和QN的中点分别为E和F。验证:EF‖AB。
解因为BN是∠ABC的平分线，所以。
因为CH⊥AB，所以
,
因此。
f是QN的中点，所以CF⊥QN，所以c，f，h和b是* * *圈。
还是那句话，所以FC = FH，所以F点在CH的中间垂线上。
同样，E点在CH的垂线上。
所以EF⊥CH.和AB⊥CH，所以ef ab。
3.(此题满分为25)题型及解法同卷(a)第三题。
第二个测试(c)
1.(此题满分为20)题型及解法同卷(a)第一题。
2.(本题满分为25)题型及解法同卷(b)第二题。
3.(本题满分25分)已知为正数，满足以下两个条件:
①
②
有三条边的三角形吗？如果存在，求三角形的最大内角。
解1乘以① ②得到，
也就是说，
也就是说，
也就是说，
也就是说，
也就是说，
就是，就是，
也就是说，
所以或或，就是或或。
因此，三条边可以构成直角三角形，其最大内角为90°。
解2与公式①结合，由公式②可得。
变形，得到③
它也由公式(1)获得，即，
代入方程3，你就得到，也就是。
,
所以或者或者。
结合①公式，或可得。
因此，三条边可以构成直角三角形，其最大内角为90°。