高中等差数列证明了这个问题。

An是等差数列，D是容差，A1 = A。

那么An=a+(n-1)d

因此，Am=a+(m-1)d，AP = a+(p-1) d。

而mnp构成等差数列，所以m+p=2n。

因此

Am+Ap

=a+(m-1)d+a+(p-1)d

=2a+(m+p-2)d

=2a+(2n-2)d

=2[a+(n-1)d]=2An

所以AM，AN，AP也构成等差数列。

这个命题被证明了。

2、

由公式可知，Sn=a1*n +n*(n-1)d/2，

那么Sn/n=a1+(n-1)d/2。

所以很明显sn/n-s(n-1)/(n-1)= d/2。

Sn/n是等差数列。

这个命题被证明了。

3、

如果Sn=m，Sm=n(m≠n)

也就是

sn = a 1 * n+n *(n-1)d/2 = m

sm = a 1 * m+m *(m-1)d/2 = n

减法

a1*(m-n)+(m？-男-女？+n)d/2=n-m

即a 1 *(m-n)+(m-n)(m+n-1)d/2 = n-m。

所以a 1+(m+n-1)d/2 =-1。

那么s(m+n)= a 1 *(m+n)+(m+n)*(m+n-1)d/2。

=(m+n)*[a 1+(m+n-1)d/2]

= -(m+n)

这个命题被证明了。

4、

如果{An}{Bn}是等差数列，前n项之和就是Sn和t n。

显然A 1+A(2n-1)= A2+A(2n-2)=...= 2AN。

所以S(2n-1)=(2n-1)*An。

同理，T(2n-1)=(2n-1)*Bn。

因此

an/BN = S(2n-1)/T(2n-1)，命题被证明。

5、

一个2n项的等差数列{An}有n个奇数项和n个偶数项。

奇数项之和为a 1+a3+…+a(2n-1)=[a 1+a(2n-1)]* n/2。

偶数项之和为A2+A4+…+A2n=(A2+A2n)*n/2。

因此

奇数项之和与偶数项之和的比值=[a 1+a(2n-1)]/(a2+a2n)

设公差为d，那么

[A 1+A(2n-1)]/(A2+A2n)

=[a 1+a 1+(2n-2)d]/[a 1+d+a 1+(2n-1)d]

=[2a 1+(2n-2)d]/(2a 1+2nd)

=[a 1+(n-1)d]/(a 1+nd)

显然A1+(n-1)d=An，A1+nd=A(n+1)。

所以奇数项之和与偶数项之和的比值=An/A(n+1)

这个命题被证明了。

6、

一个2n-1项的等差数列{An}有n个奇数项和n-1个偶数项。

奇数项之和为a 1+a3+…+a(2n-1)=[a 1+a(2n-1)]* n/2。

偶数项之和为A2+A4+…+A(2n-2)=[A2+A(2n-2)]*(n-1)/2。

因此

奇数项之和与偶数项之和的比值=[a 1+a(2n-1)]* n/[a2+a(2n-2)]*(n-1)

设公差为d，那么

[A 1+A(2n-1)]/[A2+A(2n-2)]

=[a 1+a 1+(2n-2)d]/[a 1+d+a 1+(2n-3)d]

=[2a 1+(2n-2)d]/[2a 1+(2n-2)d]

=1

所以奇数项之和与偶数项之和的比值

=[A 1+A(2n-1)]* n/[A2+A(2n-2)]*(n-1)

=n/(n-1)

这个命题被证明了。