高等代数真题1

所以从(λE-A)X = 0推导出(λE-B)X = 0是不可行的。

其次，特征空间不一定相同。

比如A = E，属于1的特征子空间是整个空间，但一般不是b的特征子空间.

这个问题一般是这样证明的。

设λ是A的特征值，V是A的特征值子空间.

对于任意X∈V，有AX = λX x。

可以得到λBX = BAX = ABX = A(BX)，即有bx ∈ v

我们得到V是b的不变子空间.

通过对角化a，整个空间可以分解成a，V1⊕V2⊕的特征子空间的直和...⊕Vk.

证明V1，V2，...，Vk是b的不变子空间.

一个定理保证如果B可以对角化，那么B对不变子空间的限制也可以对角化。

取V2 v 1中的一组碱基，...，Vk，分别作B对角线的限制，它们在整个空间中形成一组基。

在这组基下，A和B同时对角化。

以上其实是把A和B当作线性变换来证明的。

对于条件中的矩阵A，B，如果选择线性空间中的一组基，则有两个线性变换，它们的矩阵是A和B .

我们还是把这两个线性变换分别记为A和B，然后从矩阵A和B可以知道线性变换A和B是可换的.

矩阵可对角化当且仅当其对应的线性变换在一组基下的矩阵是对角矩阵。

只要证明了同一组基下的线性变换A和B的矩阵都是对角矩阵，就需要证明矩阵A和B可以被同一个可逆矩阵S对角化。

如果不用线性变换的语言，可以用分块矩阵证明。

a可对角化，存在一个可逆矩阵T使得c = t (-1) at为对角矩阵，相同的特征值排列在一起。

即C可以写成块对角形式，即λ1E，λ2E，...，λkE依次，其中λi不等于。

a和B是可换的，C和D = t (-1) Bt是可换的。

作为一个与对角矩阵可交换的矩阵，D是一个准对角矩阵，与c有相同的分块.

斜对面是D1，D2，...、Dk等块为0。

那么上面使用的定理变成:

如果一个准对角矩阵可以对角化，那么对角线上的所有块都可以对角化。

证明了几何重数可以等于代数重数。

设可逆矩阵P1，P2，...，Pk对角化D1，D2，...，Dk分别。

那么以它们为对角块的准对角矩阵p满足p (-1) DP是对角矩阵。

同时p (-1) CP = C。

所以设S = TP，S (-1) As和S (-1) BS都是对角矩阵。