考研数学题

所以调和级数前n项的部分和满足

sn = 1+1/2+1/3+…+1/n & gt；ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

= LN2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

= ln[2 * 3/2 * 4/3 *……*(n+1)/n]= ln(n+1)

因为

lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但是极限s = lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)是存在的，因为

sn = 1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

= ln(n+1)-ln(n)= ln(1+1/n)

因为

lim Sn(n→∞)≥lim ln(1+1/n)(n→∞)= 0

所以Sn有一个下界。

但是

sn-S(n+1)= 1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

= ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)= ln(1+1/n)-1/(n+1)

展开ln(1+1/n)，取前两项。因为丢弃项的总和大于0，所以

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>；0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)> 0，所以Sn单调递减。从单调有界序列的极限定理可知，Sn必有极限，所以

s = lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)存在。

提供参考