数字建模的真正问题
关键词:交通流，实时最优控制，道路加权，Dijkstra方法
随着国民经济的持续高速发展，各种机动车辆尤其是私家车的保有量迅速增加，给交通运输业带来了前所未有的繁荣。而大部分城市的交通，已经从过去的局部拥堵，发展到今天大范围的全面紧张。比如中国某大城市，早晚高峰时，路口堵车长度超过1000米，有的堵车从一个路口延伸到另一个路口。此时，一辆车通过一个路口往往需要半个多小时，不如快走，给城市交通带来了难以承受的负荷。拥挤不仅浪费时间，还会导致公共交通系统的不规则，如公交车不能按时到站，使人们无法估计自己的出行时间，耽误了工作和计划。这种紧张日益严重，已经成为大城市突出的社会问题之一，成为国民经济进一步发展的“瓶颈”问题。因此，我们必须面对现实，解决城市的交通拥堵和拥堵问题。
那么城市交通拥堵和拥堵的原因是什么呢？分析如下:
(1)现行的交通信号控制方法不适应交通流量。目前，单点定周期控制模式在城市交叉口应用最为广泛。这种控制模式存在的问题如下:
1.对交通流量的随机变化没有适应性。因为是固定周期法，周期时间和绿信比一旦选定，一般不会频繁更改。而交通网络中的车流量和人流量的变化是随机的、频繁的，每个周期内同方向通过交叉口的车流量可能会有很大的差异。不同的流量对绿灯时间有不同的要求。因此，这种控制方式给出的信号往往不能适应客观实际交通流量的随机变化。我们经常会遇到这样的情况:等待通行的车辆方向信号是红灯，而没有车辆方向的信号同时是绿灯，白白浪费了现有的路口通行能力。为了克服这一缺点，人们考虑运用概率统计的方法，在收集大量交通数据的基础上，离线优化周期时间和绿信比，大大提高了所选周期时间和绿信比在概率意义上的合理性。但是，这带来了以下问题。
2.控制律需要经常调整。首先，由于城市用地结构变化快，交通量变化快。以前的数据很快就失去了实用价值。因此，优化方案不是最优的，甚至是不合理的，需要重新进行数据收集和最优方案选择。这对于发展中的城市来说更为明显。其次，同一路口、同一侧的车流量一周内每天都不一样，每天的中峰、平峰、低峰车流量也不一样。这些都需要根据预先计算好的时刻表和日期表来改变周期时间和绿信比，局限性很大。而交通流的随机性越大，其缺点就越明显。
3.不考虑交叉点之间的连接。“单点”是指每个路口单独控制，不考虑相邻路口信号灯的周转规律。这种各路口不协调、不配合的控制模式，人为地给车流的流动设置了很多阻力。
(2)信息流通条件极差，无法对乘客和车辆进行诱导和管理。这个问题在交通网络运行顺畅时并不明显，但在发生堵车、交通事故等突发事件时就非常突出。但是，这些突发事件经常发生。此时，公交调度站无法了解路上的情况，因此无法对公交线路和发车频率进行适当的调整；其他车辆的司机无法获取信息，无法选择更顺畅的路线；在公交车站等车的乘客无法做出决定，是等车还是换乘其他列车或者步行。其实很多时候，只要进行适当的引导，道路拥堵就会大大缓解或者保证畅通。比如洛杉矶1984奥运会期间，大量使用动态路标显示板引导车辆选择合适的路线。因此，虽然车辆数量增加了很多，但网络中的交通流量比平时要好。
(3)停车场容量不够，位置不合适。这是一种延续多年的老病。只修路不建停车场。比如成都火车站东西二环有很多批发市场，但是没有合理的停车场，大部分司机直接把车停在街上，严重影响道路通行能力。停车场应该是专门的，地下的。在酒店、商场、政府大楼、居民楼下设置社会化停车场，是解决城市交通拥堵和拥堵的有效途径。
交通运输是一个复杂的大系统，必须在严格科学的规则下运行。它不是适应性系统，任何违反规章制度的行为都可能导致大系统的局部甚至“整体”瘫痪。
交通拥堵和拥堵对策一般可分为三类:
(1)加强道路建设，提高交通网络的通行能力；
(2)加强交通的使用和管理，充分发挥现有道路设施的作用，最大限度地提高交通网络的使用效率；
(3)全面实施交通需求管理，使交通需求在时间和空间上均匀化，交通结构合理化。由于交通基础设施建设周期长、成本高，在目前资金有限的情况下，在解决具体的城市交通问题时，需要提前分析对策的效果。
如前所述，要有效解决城市的交通拥堵，拥堵问题不能单纯依靠增加道路面积和长度，而应不断完善路网系统，调整路网结构，加强交通管理现代化，对单个车辆进行控制和引导。首先，交通流的静态情况是一种理想状态，假设在一个城市街区内交通流的速度是恒定的，研究分析了单车的控制和诱导，给出了调控标准。
交通路网的拓扑性质可以用图论的基本原理来分析。图形由“弧”和“顶点”组成，交通路网的拓扑模型可以抽象为由节点(交点)和弧(道路)组成的有向图。边缘的方向就是交通的方向。由于道路和交叉口具有多种属性，因此始发地和目的地之间的区域交通网络可以抽象为一个多属性加权有向图。
假设:
1.所有的路都一样宽；
2.每一条路都不需要停下来等待；
3.交通速度是恒定的；
4.道路长度已知。
5.从一点到另一点所用的时间只与道路长度有关。
不考虑事故对交通的影响。车的位置设置为点，目的地设置为点。所以汽车要走的路线可以用p来表示。
两点之间的距离
v:交通流量速度
t:从起点到终点的时间。
:p中所有弧长的总和
代表路况的权重
表示由于交通速度的变化而赋予道路的重量。
表达
模型结构
由于假设速度不变，可以看出，从原点到目的地的最短时间可以转化为最短的道路。在这一点上，这个问题可以用下面的数学模型来描述:
( * )
我们将城市道路网络描述为一个加权有向图D=(V，U)。对于每一条有向边∈U，都有一个L与之对应，L代表道路的两个节点之间的距离，称为有向边的权。
=
模型的解
在加权有向图中，我们选择一个起点和一个终点，采用E.W.Dijkstra算法。Dijkstra方法的基本思想是从开始一步步寻找最短路径。在执行的过程中，每个点对应的一个数字(称为该点的标号)被记录下来，这个数字或者代表从该点出发的最短路径权(称为P标号)，或者代表从该点出发的最短路径权的上界(称为T标号)。该方法的每一步都是修改T标号，将一个带有T标号的点改为一个带有P标号的点，使D中带有P标号的顶点数增加1。
对静态交通加权最短路径问题进行了数学建模，但在实际状态下，影响交通运行时间的因素还有很多，比如道路宽度不同，会使车流量不同(交通流量的大小用交通流量来表示，交通流量是道路上某一点到达或离开车辆的数量，简称流量)；高峰时段会造成交通拥堵甚至某个时段某个路段拥堵，从而降低车流速度，也就是说只静态考虑实际问题。没有考虑这些因素，如果按照理想模型分析，估计结果会比较粗糙和失真，无法对单个车辆进行有效的引导和控制。因此我们在前面假设的基础上对模型进行了修正:当流量处于动态变化时，考虑了道路宽度和交通拥挤等因素。这样，车辆在定点路段的最短时间问题就比静态情况复杂得多。我们利用因子变换法将多因子变量转化为单因子变量来建立优化模型。
首先，我们可以使用自动交通检测设备来测量交通网络不同部分的交通流状态，然后通过一些电信设备将这些检测到的信息发送到控制中心或无线电台，这样我们就可以知道某一时刻各个路段的交通状况，从而为我们指导驾驶员提供信息。
由于影响因素的加入，交通流的速度在一段时间内随着高峰时段的拥堵而变化。众所周知，时间最短的方案必然会改变。但是我们可以把速度变化换成路长变化，也就是把路重换成随时间变化的函数。例如，如果速度增加，道路权重将是一个正小数，如果速度减少，权重将是一个正整数，这样所需的最短时间仍然可以转换为最短的道路。
刚才我们已经考虑了交通速度的变化。现在，我们来看看交通状况的变化，比如交通事故导致的道路瘫痪，或者高峰时间导致的交通拥堵。这时，我们仍然可以对一段时间内的道路进行加权，将问题转化为静态模型，即寻找最短的道路模型。道路的重量可以由经验给出。当道路不清晰时，我们将其权重设为大于1的正整数，反之亦然。
就像最初的交通加权最短路径问题一样，始发地和目的地之间的区域交通网络可以抽象为一个多属性加权有向图。
有了自动交通检测装置反馈回来的数据信息，我们就可以给一条道路赋予一定的权重，根据情况的程度来确定具体的权重。
当道路上的交通因为各种原因速度受到影响时，我们可以将权重范围设置为[1，∞]，其中=∞表示道路严重堵塞，车辆无法通行；=1表示通行速度不受影响，可以自由行驶。当车速变化时，我们可以将权值的取值范围设置为(0，∞)，这意味着车速增加。当，表示车流速度降低；=1，表示与初速度相比没有变化。
根据上述内容，我们可以建立如下模型
( ** )
虽然每个时刻的路况和车速都不一样，但上述模型只是转换后的一个参数变化，这样初始的最短路径问题模型仍然可以用来求解，大大简化了问题。
在接下来的Dijkstra方法的具体求解步骤中，分别用P和T来表示一个点的P标号和T标号，表示第一步中带有P标号的点集。为了找到从到每个点的最短路径以及从到每个点的距离，给每个点一个值。当算法终止时，如果，从到的最短路径上的前一个点是；如果是，说明D中不包含从到的路径；代表=其中m代表一个无穷大的数。
模型检验和实践研究
上面已经给出了一般的优化模型。现在举个例子来计算模型。
如图所示，这是一个单向交通网络。车辆以速度V行驶，每个弧线旁边的数字表示两点之间的相对距离。现在一辆出租车要从这里出发，穿过这个交通网络，找到最短的路线。
图5-1
可以看出，如果速度等因素没有变化，根据模型(*)，直接用Dijkstra算法求解，从到的最短路径为。
假设此时车速或路况发生变化，根据模型(* *)，我们可以得到:
我们假设此时汽车正在行驶，车速为2v( =0.5)，前往它的路上由于高峰时间交通堵塞(=5)，前往它的路上交通不是主干道，畅通率比之前高(=0.6)，其他路况没有变化(=1)。这时，显示模式(* *):
从到达到使用的最短路线可以如下获得
实用研究
优化后的模型对实际交通流控制具有良好的引导和控制作用。使用该模型时，可以通过三台设备获取数据，这是可行的。第一个是车载设备，第二个是路边设备，第三个是控制中心。
车辆设备包括:
(1)用于接收驾驶员输入的数据的操作键盘；
(2)接收和发送部分，用于从路边通信设备接收数据并向该设备发送数据；
(3)能够提供从路边通信设备接收的数据的真实控制面板；
(4)用于接收从路边或中央广播设备传输的信息的接口。
路边设备包括:
(1)路边通信设备，记录从中央处理设备传输的数据，并通过嵌入路面的环形线圈和车辆天线与单个车辆进行双向通信。
⑵用电缆直接连接中控和路侧广播设备，然后进行车载通讯。(3)自动交通检测装置，可以测量车速，检测路况。
这样，驾驶员将所需的终端代码输入安装在汽车上的键盘。一旦汽车接近某个位置，汽车上的微型计算机通过车载天线和嵌入路面的环形线圈将存储的编码数据传输给路边的微型计算机设备，微型计算机将编码数据反馈给控制中心。控制中心利用优化后的模型和本文给出的算法进行求解，得到合理的行驶路线，并通过路侧设备反馈给车上的微型计算机，驾驶员可以通过显示器获得最短的路线。
由于交通不是单个车辆，而是多个车辆参与运行，交通状况随时可能发生变化，从而影响单个车辆行驶路线的变化。考虑到这种情况，本文中的引导和控制将在不同的时间段进行:
表5-1
水槽
5:00-
7:30高峰时间
7:30-
9:00中间时段
9:00-
12:00高峰时间
12:00-
13:00中间时段
13:00-
17:30-高峰时间
17:30-
19:00低谷期
19:00-
晚上十一点
反馈周期为谷期30分钟，中期15分钟，高峰期每5分钟一次。因为高峰期路况变化快，反馈给驾驶员的数据间隔不能太长。这使得本文的模型更具可行性。