柯西中值极限定理的证明

|xn|≤M

并且对于任何给定的ε>；0，有正整数n？，当n >时；

n？有时候，有时候

| xn-A | & lt；ε

|(x？+x？+...+xn)/n-A|

=1/n*|

x？+x？+...+xn

–n * A |

=1/n*|(

x？+x？+...+x{N？}-N？*A)

+(x{N？+1}-A)+

(x{N？+2}-A)+...+

(xn-A)

|

≤1/n * |

x？|+|

x？|+...+|x{N？}

|+

n？*|A|)+

1/n*(|

x{

n？+1}-A

|+|

x{

n？+2}-A

|+...+|

xn-A

|)

≤1/n*(

n？*

M+

n？*A)

+

1/n*(n-

n？)*ε

& lt

n？/n(M+A)+ε

取n？=[N？/ε]，N=max{

n？,

n？}，那么当n & gtn次

|(x？+x？+...+xn)/n-A | & lt；(M+A)*ε+ε=(M+A+1)*ε

所以有lim{n→∞}(x？+x？+...+xn)/n=A

注意:当n & gtn，n & gt

n？，即n≥[N？/ε]+1 & gt；

n？/ε，所以n？/n & lt；ε