考研导数真题的证明

设，x=rcosθ，y=rsinθ。

所以f(x，y)=H(r，θ)。

现在看下面两个偏导数:

aH/aθ

=af(rcosθ，rsinθ)/aθ

= af/a(rcosθ)* a(rcosθ)/aθ+af/a(rsinθ)* a(rsinθ)/aθ

=-rsinθ*f'x+rcosθ*f'y

=-y*f'x+x*f'y

啊/ar

=af(rcosθ，rsinθ)/ar

= af/a(rcosθ)* a(rcosθ)/ar+af/a(rsinθ)* a(rsinθ)/ar

=cosθ*f'x+sinθ*f'y

=(x*f'x+y*f'y)/r

所以，

从题目来看，aH/ar=0，所以，H与R无关，可以写成H(r，θ)=F(θ)。

从题目来看，aH/aθ=0，所以H与θ无关，可以写成H(r，θ)=G(r)。

其实只是利用了求复合函数偏导数的链式法则~ ~ ~

如果你明白，欢迎提问。