国家科学衍生的真正问题

函数f (x) = (x2+ax-2a2+3a) ex (x?r),其中a?R.

当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间和极值。

解法:(1)当a = 0时,f (x) = x2ex,f' (x) = (x2+2x) ex,所以f' (1) = e .

因此,曲线y = f (x)的切线在(1,f(1))点的斜率为e .

(2)f' (x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex,

设f' (x) = 0,x =-2a,或x = a-2。从a≠23,-2a ≠ a-2。

下面分两种情况讨论:

①如果a > 23,-2a < a-2。当x变化时,f' (x)和f(x)的变化如下:

x(-∞,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a-2,+∞)

f '(x)+0—0+

F (x) ↗最大↘最小↗

函数f(x)在x =-2a处获得最大值f(-2a)= 3ae-2a;

在x = a-2处得到最小值f(a-2)=(4-3a)ea-2;

②若a < 23,则-2a > a-2。当x变化时,f' (x)和f(x)的变化如下:

x(-∞,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)

f '(x)+0—0+

F (x) ↗最大↘最小↗

函数f(x)在x =-2a处取最小值f(-2a)= 3ae-2a;

在x = a-2时获得最大值f (a-2) = (4-3a) ea-2。