高中数学2007-2009年湖北理科数学高考试卷及分析

2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(科学、工程、农业和医学)

本卷***4页，满分150，考试时间120分钟。

注意事项:

1.答题前，考生必须在试卷和答题卡上填写自己的姓名和准考证号，并在答题卡指定位置粘贴准考证号条形码。

2.每道选择题选好答案后，用2B铅笔将答题卡上对应问题的答案标签涂黑。如果需要改，用橡皮擦擦干净，再选择涂其他答案标签。试卷上的答案无效。

3.直接在答题卡上每道题对应的答题区域用0.5毫米黑色墨水笔或黑色墨水笔填空答题，试卷上的答案无效。

考试结束后，请把这张试卷和答题卡一起交上来。

一、选择题:此大题为***10小题，每小题5分，每小题***50分。每道小题给出的四个答案中，只有一个符合题目要求。

1.如果的展开式包含非零常数项，则正整数n的最小值为

A.3

B.5

D.10

2.根据矢量a=平移图像，平移图像的解析式为

3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q=，如果p = {x | log2x

A.{ x | 0 & ltx & lt1}

B.{ x | 0 & ltx≤1}

C.{ x | 1≤x & lt；2}

D.{ x | 2≤x & lt；3}

4.平面α外有两条直线M和N。如果M和N在平面α上的投影分别为M’和N’，则给出以下四个命题:

①m'⊥n'm⊥n

②m⊥n m'⊥n'

③M’和N’相交，M和N相交或重叠。

④M’和N’平行，M和N平行或重合。

不正确命题的数量是

A.1

B.2

C.3

丁四

5.已知P和Q是两个不相等的正整数，且q≥2，则

答:0

B.1

6.若数列{an}满足N*)，则{an}称为“等平方比数列”。

答:序列{an}是等平方比序列；b:数列{an}是几何级数。

A.a是b的充分条件但不是必要条件。

B.a是b的必要但非充分条件。

C.a是b的充要条件。

D.a不是b的充分条件，也不是必要条件。

7.双曲线C1: (A > 0，b & gt0)为L，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为L，焦点为F2；C1和C2的交集是m，它等于

A.-1

B.1

8.已知两个等差数列{An}和{Bn}的前n项之和分别为An和Bn，则为整数的正整数n的个数为

A.2

B.3

D.5

9.如果掷骰子两次得到的点数分别为m和n，向量a=(m，n)与向量b=(1，-1)的夹角为θ，则概率为

10.已知一条直线(a，b是非零常数)和一个圆x2+y2=100有一个公共* * *点，公共* * *点的横坐标和纵坐标都是整数，那么这样一条直线就有* * *。

A.60

b66

C.72

D.第D.78条

二、填空:这个大题是***5个小题，每个小题5分，* * * 25分。

11.给定函数y=2x-a的反函数为y=bx+3，则a =；b= .

12.复数z=a+bi，a，b∈R，b≠0。如果z2-4bz是实数，则有序实数对(a，b)可以是。(就写一个有序实数对。)

13.设变量x和y满足约束条件，那么目标函数2x+y的最小值为。

14.一个篮球运动员在三分线的命中率是他投10次，也就是刚好命中三个球的概率。(用数值回答)

15.为了预防流感，某学校用熏蒸的方式对教室进行了消毒。已知在药物释放过程中，每立方米室内空气的药物含量y (mg)与时间t(小时)成正比；药物释放后，Y与T的函数关系为(A为常数)，如图。根据图中提供的信息，回答以下问题:

(I)每立方米空气中的药物含量y (mg)与时间t(小时)之间的函数关系如下:

(二)根据测量，空气中每立方米的毒品含量下降到0.25毫克以下，学生才能进入教室。药物释放后，学生至少需要一个小时才能回到教室。

三、答题:这个大题是***5个小题，***75分。解答要用文字写，证明过程或计算步骤。

16.(这个小问题满分是12)

已知△ABC的面积为3且满足0≤≤≤6，和的夹角为θ。

(I)找出θ的范围；

(二)求函数f(θ)=2sin2的最大值和最小值。

17.(这个小问题满分是12)

分组

频数

四

组合计划

100

在生产过程中，测量纤维产品的尺寸(表示纤维厚度的量)。

* * *有100个数据。如右表所示对数据进行分组:

(I)完成答题卡上的频率分布表，并在给定的坐标系中绘制。

频率分布直方图；

(ii)估计大小落在中间的概率和大小小于1.40的概率。

费率是多少；

(三)在统计方法中，常以同一组数据的中点值为代表(如区间的中点值为1.32)。以此为基础，估计精细度的期望值。

18.(这个小问题满分是12)

如图，在三角金字塔V-ABC中，VC⊥底ABC，AC⊥BC，d是AB的中点，AC=BC=a，∠VDC=θ。

㈠核查:VAB⊥飞机vcd；

(二)当角度θ变化时，求直线BC与平面VAB所成角度的范围。

19.(这个小问题满分是12)

在平面直角坐标系xOy中，通过定点C(0，p)的直线和抛物线x2 = 2py(p & gt；0)相交于a和b。

(I)若N点是C点相对于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

(二)是否存在一条垂直于Y轴的直线L，使L的弦长被一个直径为AC的圆所截而成常数？如果存在，求L的方程；如果不存在，说明原因。(此题不需要在答题卡上画)

20.(这个小问题满分是13)

已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a >；0。设两条曲线y=f(x)和y=g(x)有一个公共点，该点的切线相同。

(I)用a表示b，求b的最大值；

㈡核查:f(x)≥g(x)(x & gt；0)。

21.(这个小问题满分是14)

已知m和n是正整数。

(I)用数学归纳法证明:当x >时；At -1，(1+x)m≥1+MX；

(ii)对于n≥6，已知并验证，m=1，2…，n；

(iii)找出满足等式3n+4m+…+(n+2) m = (n+3) n的所有正整数n。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(科学、工程、农业和医学)

参考答案

一、选择题:此题考查基础知识和基本操作。每小题5分，满分50分。

1.B2 a3 . B4 . D5 . C6 . B7 . A8 . d9 . c 10。A

填空题:本题考查基础知识和基本操作。每小题5分，满分25分。

11.6;

12.(2，1)(或满足a=2b的任何一组非零实数对(a，b)

13.—

14.

15.；0.6

三、答题:这个大题是***6个小题，***75分。

16.这个小题主要考察平面向量的乘积的计算，解三角形、三角公式、三角函数的基础知识，推理和运算能力。

解决方案:

(I)设△a，b，c中角a，b，c的对边分别为a，b，c，

然后由。

(Ⅱ)

。

立刻。

17.本题目主要考察频率分布直方图、概率和期望的概念，以及用样本频率估计总体分布的统计方法，考察运用概率统计知识解决实际问题的能力。

分组

频数

频率率

四

0.04

0.25

0.30

0.29

0.10

0.02

组合计划

100

1.00

(二)细度落在中间的概率约为0.30+0.29+0.10 = 0.69，细度小于1.40的概率约为0.04+0.25+× 0.30 = 0.44。

(三)总体数据的期望值约为

1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088.

18.本题目主要考查关于线与面的关系、线与面的夹角的知识，空间想象和推理运算的能力，应用向量知识解决数学问题的能力。

溶液1:

(I)是等腰三角形，d是AB的中点。

和

(ii)若交点c使h在平面VD中CH⊥VD，则BH由(I)知CH⊥平面VAB而连，故∠CBH为直线BC与平面VAB所成的角。

在Rt△CHD中，设，

也就是说，由直线BC和平面VAB形成的角度的范围是(0°)。

解决方案2:

(一)分别以CA，CB，CV的直线为X轴，Y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，A，0)，D()，

因此

以同样的方式；以类似的方式

也就是

和

(ii)设直线BC与平面VAB所成的角度为φ，平面VAB的法向量为n=(x，y，z)，

然后由n。

19.此小题主要考察直线、圆、抛物线等平面解析几何的基础知识，考察综合运用数学知识进行推理和解题的能力。

溶液1:

(一)根据题意，点N的坐标为N(0，-p)，可设为A (X1，Y1)和B (X2，Y2)。直线AB的方程是y=kx+p，和x2=2py结合起来就是x2-2pkx-2p2 =。

维耶塔定理的x1+x2 = 2pk，x1x2 =-2p2。

因此

。

(二)假设满足条件的直线L存在，其方程为y = a，直径在AC中点的圆相交于点P和Q，PQ的中点为H，则

Make，得到一个固定值，所以有一条直线l满足条件，它的方程是，

也就是抛物线的轨迹所在的直线。

解决方案2:

(I)前一个解是1，由弦长公式得到。

也是从点到直线的距离公式推导出来的。

因此，

(ii)假设直线T存在，其方程为y=a，直径为AC的圆的方程为

代入线性方程y=a得到

设直线L与直径为AC的圆的交点为p (x2，y2)和q (x4，y4)，则有

设为常数值，那么存在一条满足条件的直线L，其方程为。

也就是抛物线轨迹所在的直线。

20.这个小题主要考察函数、不等式、导数的应用，考察综合运用数学知识解题的能力。

解决方案:

(I)设y=f(x)，y = g(x)(x >；0)公共点(x0，y0)处的切线相同，

。

也就是

立刻拥有它

零岁

当...的时候

所以它是一个递减函数，

所以h(t)是

㈡建立

规则

所以F(x)在(0，a)处是减函数，在(a，+)处是增函数。

所以这个函数

因此，当x & gt在0，有

21.这个小题目主要考察数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本操作技能，考察分析问题和推理的能力。

溶液1:

(一)证明:用数学归纳法证明:

(I)当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边= 1+2x+x2，右边= 1+2x，因为x2≥0，

所以左≥右，原不等式成立；

(二)假设当m=k时不等式成立，即(1+x)k≥1+kx，那么当m=k+1时，

两边乘以1+x

因此，不等式也成立。

基于(I)和(ii)，不等式对所有正整数m成立.

(二)综合征:当n ≥ 6，m ≤ N时，由(一)得出。

因此

(三)解法:根据(二)，当n≥6时，

所以我们只需要讨论n=1，2，3，4，5的情况；

当n=1，3≠4时，方程不成立；

当n=2，32+42 = 52时，等式成立；

当n=3，33+43+53 = 63时，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64是偶数，74是奇数，所以34+44+54+64≠74，方程不成立；

当n=5时，可以分析出等式不成立。

综上，唯一求的n是n=2，3。

解决方案2:

(一)证明:当x=0或m=1时，原不等式中的等号明显成立，用数学归纳法证明:

当x & gt-1且x≠0，m≥2，(1+x)m & gt；1+mx。1

(I)当m=2时，左边= 1+2x+x2，右边= 1+2x，因为x≠0，x2 & gt0，即左边>右边，不等式①成立；

(二)假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即(1+x)k >；1+kx，那么当m=k+1时，因为x >；-1，所以1+x & gt；0.因为x ≠ 0且k ≥ 2，kx2 & gt0.

所以在不等式(1+x) k >中；1+kx的两边乘以1+X。

(1+x)k (1+x)>(1+kx)(1+x)= 1+(k+1)x+kx2 & gt；1+(k+1)x，

所以(1+x)k+1 >；1+(k+1)x，即当m = k+1时，不等式①也成立。

综上所述，证明的不等式成立。

㈡证书:何时

并且通过(I)，

(三)解法:假设有一个正整数，

即()+= 1 ②。

也可从(ⅱ)获得

()+

+矛盾②，

所以当n≥6时，不存在满足这个方程的正整数n。

所以我们只需要讨论n=1，2，3，4，5的情况；

当n=1，3≠4时，方程不成立；

当n=2，32+42 = 52时，等式成立；

当n=3，33+43+53 = 63时，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64是偶数，74是奇数，所以34+44+54+64≠74，方程不成立；

当n=5时，可以分析出等式不成立。

综上，唯一求的n是n=2，3。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(科学、工程、农业和医学)

本卷***4页，满分150，考试时间120分钟。

注意事项:

1.答题前，考生必须在试卷和答题卡上填写自己的姓名和准考证号，并在答题卡指定位置粘贴准考证号条形码。

2.每道选择题选好答案后，用2B铅笔将答题卡上对应问题的答案标签涂黑。如果需要改，用橡皮擦擦干净，再选择涂其他答案标签。试卷上的答案无效。

3.直接在答题卡上每道题对应的答题区域用0.5毫米黑色墨水笔或黑色墨水笔填空答题，试卷上的答案无效。

考试结束后，请把这张试卷和答题卡一起交上来。

一、选择题:此大题为***10小题，每小题5分，每小题***50分。每道小题给出的四个答案中，只有一个符合题目要求。

1.如果的展开式包含非零常数项，则正整数n的最小值为

A.3

B.5

D.10

2.根据矢量a=平移图像，平移图像的解析式为

3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q=，如果p = {x | log2x

A.{ x | 0 & ltx & lt1}

B.{ x | 0 & ltx≤1}

C.{ x | 1≤x & lt；2}

D.{ x | 2≤x & lt；3}

4.平面α外有两条直线M和N。如果M和N在平面α上的投影分别为M’和N’，则给出以下四个命题:

①m'⊥n'm⊥n

②m⊥n m'⊥n'

③M’和N’相交，M和N相交或重叠。

④M’和N’平行，M和N平行或重合。

不正确命题的数量是

A.1

B.2

C.3

丁四

5.已知P和Q是两个不相等的正整数，且q≥2，则

答:0

B.1

6.若数列{an}满足N*)，则{an}称为“等平方比数列”。

答:序列{an}是等平方比序列；b:数列{an}是几何级数。

A.a是b的充分条件但不是必要条件。

B.a是b的必要但非充分条件。

C.a是b的充要条件。

D.a不是b的充分条件，也不是必要条件。

7.双曲线C1: (A > 0，b & gt0)为L，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为L，焦点为F2；C1和C2的交集是m，它等于

A.-1

B.1

8.已知两个等差数列{An}和{Bn}的前n项之和分别为An和Bn，则为整数的正整数n的个数为

A.2

B.3

D.5

9.如果掷骰子两次得到的点数分别为m和n，向量a=(m，n)与向量b=(1，-1)的夹角为θ，则概率为

10.已知一条直线(a，b是非零常数)和一个圆x2+y2=100有一个公共* * *点，公共* * *点的横坐标和纵坐标都是整数，那么这样一条直线就有* * *。

A.60

b66

C.72

D.第D.78条

二、填空:这个大题是***5个小题，每个小题5分，* * * 25分。

11.给定函数y=2x-a的反函数为y=bx+3，则a =；b= .

12.复数z=a+bi，a，b∈R，b≠0。如果z2-4bz是实数，则有序实数对(a，b)可以是。(就写一个有序实数对。)

13.设变量x和y满足约束条件，那么目标函数2x+y的最小值为。

14.一个篮球运动员在三分线的命中率是他投10次，也就是刚好命中三个球的概率。(用数值回答)

(I)每立方米空气中的药物含量y (mg)与时间t(小时)之间的函数关系如下:

(二)根据测量，空气中每立方米的毒品含量下降到0.25毫克以下，学生才能进入教室。药物释放后，学生至少需要一个小时才能回到教室。

三、答题:这个大题是***5个小题，***75分。解答要用文字写，证明过程或计算步骤。

16.(这个小问题满分是12)

已知△ABC的面积为3且满足0≤≤≤6，和的夹角为θ。

(I)找出θ的范围；

(二)求函数f(θ)=2sin2的最大值和最小值。

17.(这个小问题满分是12)

分组

频数

四

组合计划

100

在生产过程中，测量纤维产品的尺寸(表示纤维厚度的量)。

* * *有100个数据。如右表所示对数据进行分组:

(I)完成答题卡上的频率分布表，并在给定的坐标系中绘制。

频率分布直方图；

(ii)估计大小落在中间的概率和大小小于1.40的概率。

费率是多少；

(三)在统计方法中，常以同一组数据的中点值为代表(如区间的中点值为1.32)。以此为基础，估计精细度的期望值。

18.(这个小问题满分是12)

如图，在三角金字塔V-ABC中，VC⊥底ABC，AC⊥BC，d是AB的中点，AC=BC=a，∠VDC=θ。

㈠核查:VAB⊥飞机vcd；

(二)当角度θ变化时，求直线BC与平面VAB所成角度的范围。

19.(这个小问题满分是12)

在平面直角坐标系xOy中，通过定点C(0，p)的直线和抛物线x2 = 2py(p & gt；0)相交于a和b。

(I)若N点是C点相对于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

20.(这个小问题满分是13)

已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a >；0。设两条曲线y=f(x)和y=g(x)有一个公共点，该点的切线相同。

(I)用a表示b，求b的最大值；

㈡核查:f(x)≥g(x)(x & gt；0)。

21.(这个小问题满分是14)

已知m和n是正整数。

(I)用数学归纳法证明:当x >时；At -1，(1+x)m≥1+MX；

(ii)对于n≥6，已知并验证，m=1，2…，n；

(iii)找出满足等式3n+4m+…+(n+2) m = (n+3) n的所有正整数n。

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