50分钟找到一个二次函数问题

一、选择题:

1.(2003?抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是()。

A.直线x =-3 b .直线x = 3 c .直线x =-2 d .直线x=2

2.(2004?重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M(b，)在()。

A.第一象限；b .第二象限；c .第三象限；d .第四象限

3.(2004?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，而a

A.b2-4ac >0 B.b2-4ac=0

B2-4ac & lt；0 D.b2-4ac≤0

4.(2003?杭州)抛物线y=x2+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位。得到的图像解析式为y=x2-3x+5，所以有()。

A.b=3，c=7 B.b=-9，c=-15

C.b=3，c=3 D.b=-9，c=21

5.(2004?河北)在同一个直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为()。

6.(2004?昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)像的顶点p的横坐标为4，像的X轴在A点(m，0)和B点，m >；4、那么AB的长度是()。

A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m

第二，填空

1.(2004?河北)如果将二次函数y=x2-2x+3公式化为y=(x-h)2+k，则y = _ _ _ _ _。

2.(2003?新疆)请写出函数y=(x+1)2与y=x2+1 _ _ _ _之间的* * *同构。

3.(2003?天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且过点(1，4)和点(5，0)，则抛物线的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _。

4.(2004?武汉)已知二次函数的图像开口向下，与Y轴的正半轴相交。请写出满足条件的二次函数解析式:_ _ _ _ _ _ _ _ _。

5.(2003?黑龙江)给定抛物线y=ax2+x+c与X轴的交点横坐标为-1，则A+C = _ _ _ _。

6.(2002?北京东城)有一个二次函数的图像，三个学生描述了它的一些特征:

答:对称轴是直线x = 4；

b:与X轴的两个交点的横坐标为整数；

c:与Y轴相交的纵坐标也是整数，以这三个交点为顶点的三角形的面积是3。

请编写一个满足上述所有特征的二级解析函数:

第三，回答问题

1.(2003?安徽)已知函数y=x2+bx-1的像通过点(3，2)。

(1)求该函数的解析表达式；

(2)画出其图像并指出图像的顶点坐标；

(3)当x >时；0，求使y≥2的x的取值范围。

2.(2004?济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与X轴有两个交点A和B，这两点关于Y轴对称。

(1)求m的值；

(2)写出抛物线解析式和顶点坐标；

(3)根据二次函数与一元二次方程的关系，用另一种方式写出这道题的条件。

3.(2004?南昌)在平面直角坐标系中，给定以下五点A (-2，0)，B (1，0)，C (4，0)，D (-2，0)，E (0，6)，从这五点中选取三点，使通过这三点的抛物线可以是一条平行于Y轴的直线。

(1)符号条件还有哪些抛物线？不求解析式，请用约定的方法一一表示；

(2)在(1)中是否存在这样一条抛物线，它与其余两点确定的直线不相交？如果存在，试着求解析式和直线的解析式；如果不存在，请说明原因。

能力提升练习

第一，学科内部的综合问题

1.(2003?新疆)如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像与X轴相交于B点和C点，与Y轴相交于a点.

(1)根据图像确定A、B、C的符号并说明原因；

(2)若A点坐标为(0，-3)，∠ ABC = 45，∠ ACB = 60，求此二次函数的解析表达式。

二、实际应用问题

2.(2004?据统计，2000年全市生产总值分别为1990、1995、104亿元、129亿元。

证明上述数据适用于二次函数关系。请根据这个函数关系预测该市2005年的国内生产总值。

3.(2003?辽宁)一家公司推出了一款高效环保的洗涤产品。年初上市后，公司经历了一个从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图像(部分)描绘了年初以来的累计利润S(万元)与销售时间T(月)的关系(即前T个月的总利润S与T的关系)。

根据图片提供的信息，回答下列问题:

(1)从已知图像上的三点坐标求累计利润s(万元)与时间t(月)的函数关系；

(2)几个月结束时公司累计利润可达30万元；

(3)公司第八个月的利润是多少？

4.(2003?吉林)如图，有一座抛物线拱桥。正常水位时，水面AB宽度为20m。如果水位上升3m，水面宽度CD为10m。

(1)建立如图所示的直角坐标系，求这条抛物线的解析式；

(2)目前一辆运送救灾物资的货车需要经过这座桥才能去b，已知A离这座桥有280km(桥的长度忽略不计)。卡车以每小时40公里的速度驶向B。行驶1小时时，突然收到紧急通知:由于前方持续暴雨，水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车收到通知时水位在CD，水位到达大桥时)。如果有，请说明理由；如果不是，卡车应该以每小时多少公里的速度安全过桥？

三，开放探究问题

5.(2003?济南某校研究性学习小组在研究二次函数及其图像性质时，发现了两个重要结论。第一，它发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，实数A变化时，其顶点都在一条直线上；二、发现实数A变化时，若抛物线y=ax2+2x+3的顶点横坐标减小，纵坐标增大，则得到A点的坐标；如果增加顶点的横坐标，增加纵坐标得到B点的坐标，那么A点和B点一定还在抛物线y=ax2+2x+3上。

(1)请帮忙找出实数A变化时抛物线y=ax2+2x+3顶点所在直线的解析式；

(2)所讨论的直线(1)上有一点不是抛物线的顶点。你能找到它吗？并说明理由；

(3)受他们第二次发现的启发，运用“一般-特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言表达你的猜想吗？你的猜测站得住脚吗？如果有，请说明原因。

6.(2004?重庆)如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边长为a，O为原点，B点在X轴的负半轴上，D点在Y轴的正半轴上。直线OE的解析式为y=2x，直线CF通过X轴上的一点C(- a，0)，与OE平行。现在正方形沿着X轴的正方向以每秒的匀速平行移动，移动时间为t秒。平方

(1)当0 ≤ t时

(2)当4≤t≤5时，写出S与t的函数关系，S在这个范围内有最大值吗？如果是，请求最大值；如果没有，请说明原因。

回答:

基本标准验收量

一、1。D 2。D 3。A 4。A 5。B 6。C

2.1.(x-1)2+2 2。图像都是抛物线或向上开口或都有最低点(最小值)3.y=- x2+2x+ 4。比如y=-x2+1 5.1。

6.y= x2- x+3或y=- x2+ x-3或y=- x2- x+1或y=- x2+ x-1。

第三，

1.解:(1)∫函数y=x2+bx-1 (3，2)的像通过点，

∴9+3b-1=2，答案是b=-2。

∴分辨函数是y=x2-2x-1。

(2)y = x2-2x-1 =(x-1)2-2。

图略。

图像的顶点坐标是(1，-2)。

(3)当x=3时，y=2。根据图像，当x≥3，y≥2时。

∴当x & gt0，使y≥2的x的取值范围是x≥3。

2.(1)设A(x1，0) B(x2，0)。

A和B关于Y对称.

∴ ∴

解是m=6。

(2)求y=- x2+3。顶点坐标是(0，3)。

(3)方程-x2+(6- )x+m-3=0的两个根是对立的(或者两个根之和为零等等。).

3.解:(1)有五个符合条件的抛物线，如下:

①抛物线AEC②抛物线CBE③抛物线DEB④抛物线DEC⑤抛物线DBC。

(2)在(1)中有一个抛物线DBC，与直线AE不相交。

设抛物线DBC的解析表达式为y = AX2+BX+C .

分别代入d (-2，)，b (1，0)，c (4，0)三个坐标，得到

解这个方程组得到a=，b=-，c=1。

抛物线DBC的解析式为y= x2- x+1。

另一种方法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4)，代入D(-2，)得到a=。

线性AE的解析式为y = MX+n。

分别代入a (-2，0)和e (0，6)的坐标得到

解这个方程组，得到m =-3，n =-6。

∴线性AE的解析式是y=-3x-6。

能力提升练习

一，

1.解:(1)∵抛物线开口向上，∴a>；0.

对称轴在y轴的左侧，

∴- <0,∴b>；0.

此外，抛物线与Y轴的负半轴相交。

∴c<；0.

(2)如图所示，连接AB和AC。

∫在Rt△AOB中∠ ABO = 45，

∴∠OAB=45。∴OB=OA.∴B(-3,0).

在Rt△ACO中，ACO = 60，

∴OC=OA？cot60 = ,∴C(，0)。

设二次函数的解析式为

y=ax2+bx+c(a≠0)。

根据问题的意思

∴二次函数的解析式是y= x2+ (-1)x-3。

2.根据问题的意思，三组数据可以看成三个点:

A(0，8.6)，B(5，10.4)，C(10，12.9)

设y = AX2+BX+C

把a，b，c的坐标代入上面的公式，你就得到

解是a = 0.014，b = 0.29，c = 8.6。

也就是说，二次函数是

y=0.014x2+0.29x+8.6。

设x=15，代入二次函数得到y=16.1。

因此，2005年，全市生产总值将达到16100亿元。

3.解法:(1)设S和T的函数关系为S = AT2+BT+C。

从问题的意义中推导或解决

∴s= t2-2t。

(2)将s=30代入s= t2-2t得到30= t2-2t。

解是t1=0，t2=-6 (s)。

答:截止10，公司累计盈利可达30万元。

(3)代入t=7得到s =×72-2×7 = = 10.5；

代入t=8得到s= ×82-2×8=16。

16-10.5=5.5.

a:第八个月，公司盈利55000元。

4.解法:(1)设抛物线解析式为y=ax2，桥拱最高点o到水面CD的距离为hm。

然后D(5，-h)，B(10，-h-3)。

获得解决方案

抛物线的解析式为y=- x2。

(2)水位从CD上升到O点的时间为1÷0.25=4(小时)。

卡车以原速度行驶的距离为:40× 1+40× 4 = 200

卡车不能以原来的速度安全过桥。

将货车速度设置为xkm/h

当4x+40×1=280时，x=60。

∴要让卡车完全过桥，卡车的速度应该超过60公里/小时.

省略

6.解:(1)当0 ≤ t时

如图1，从图中可以看出OM= t，假设t秒后，方块移动到ABMN，

∵当t=4时，BB1=OM= ×4= a，

点B1在点c的左边.

∴夹在两条平行线之间的部分是多边形，

它的面积是:

平行四边形COPG-△NPQ的面积。

CO = a，OD=a，

∴四边形COPQ面积= a2。

而∵点p的纵坐标是a，如果代入y=2x，就得到了P( ,a),∴DP=.

∴np= t。

从y=2x，NQ=2NP,∴△NPQ面积=

∴s= a2-(t)2 = a2-(5-t)2 =[60-(5-t)2]。

②当4≤t≤5时，

如图，此时正方形移动到ABMN，

∵当4≤t≤5，a≤BB1≤,当B介于C点和O点之间。

∴夹在两条平行线之间的部分是B1OQNGR，即平行四边形Copg被两个小三角形△NPQ和△CB1R截掉，其面积为:平行四边形COPG-△NPQ -△CB1R的面积。

类似于(1)，OM= t，NP= t，S△NPQ=( t)2

∵CO= a，CM= a+ t，BiM=a，

∴cb1=cm-b1m= a+t-a = t-a

∴S△CB1R= CB1？B1R=(CB1)2=( t- a)2。

∴S= a2-( - t)2

= a2- [(5-t)2+(t-4)2]

= a2- (2t2-18t+41)

= a2- [2？(t- )2+】。

∴当t=，s有最大值，s最大值= a-？= a2。