高中数学一题多解

一道数学竞赛题的多解

1.北京市中学生数学竞赛历史悠久。近十年来，北京市中学生数学竞赛一直在初二和初一举行。从1990开始，分为初试和复试。初试以普及为主，复试适度提高。命题紧密结合中学数学教学实际，生动而不难，有趣而不怪，巧妙而不偏，力求体现科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的全面统一。数学竞赛是一种深受青少年喜爱的数学课外活动。开发智力，通过有趣、创新、有水平的题目，引导学生提高数学素质。数学竞赛是实施数学素质的良好形式。北京十几年的数学竞赛，积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目。引导学生去学习，去欣赏，是一件愉快而快乐的事情。下面，笔者试着通过一道北京市高一数学竞赛第一题的多解，与读者分享数学智慧的灿烂阳光。

二、题目

北京1992数学竞赛第四题“二。高一年级的填空题如下:

4.如果sin2x+cosx+a=0有实根，那么实数A的取值范围是多少？

题目短小干涩，满分8分。

第三，设法解决

方程中的知识数为x，x有两个三角函数，Sinx和Cosx。而Sin2x=1-cos2x，好吧，换一个，原来的等式就变成了。

cos2x-cosx-1-a=0

①

如果原方程中的X有实根，那么cosx就会有对应的实数，这样t= cosx，这样方程①就变成了

t2-t-1-a=0

②

所以方程②应该有实根，所以它的判别式△=(-1)2-4(-1-a)= 4a+5≥0，所以a≥-(5/4)。

所以实数A的取值范围是a≥-(5/4)。

这是正确的答案吗？

当a≥-(5/4)时，必有△≥0，方程②必有实数根。问题是，cosx=t有实数根X就有实数根吗？注意余弦函数的取值范围是cosx ∈ [-1，1]，所以②有实根并不能保证cosx=t一定在[-1，1]以内，说明上面的解法并不严谨，思考不仔细的同学在这里可能会出错。这是试题设置的隐藏陷阱。

第四，反思

我们做什么呢

如果方程②的实数解t能保证在区间[-1，1]内，那么最简单的三角方程cosx=t一定有实数解x = 2kπ arccost。很好，这样问题就变成了当方程②在[-1，1]中有实数根的时候。

根据等式②:

因此，当a ∈ [-(5/4)，1]∨[-(5/4)，-1] = [-(5/4)，1]时，原方程有一个关于x的实数根。

以上方法利用一元二次方程的根公式，两个无理不等式组成的不等式组，集合的交与并。心里觉得踏实，但是计算复杂。有没有更好的办法？

动词 （verb的缩写）改进

如果方程②的左端是f(t)，即

f(t)=t2-t-1-a

那么方程②在[-1，1]中有实数解，相当于二次函数f(t)=t2-t-1-a的像抛物线在[-1，1]中与T轴有交集。数转化为形，形帮助数。好吧，试试看。

当[-1，1]中抛物线与T轴只有一个交点时，当且仅当。

F(-1)f(1)≤0。

(1-a)(-1-a)≤0，解为-1≤A≤1；③

当抛物线与T轴在[-1，1]中有两个交点时，当且仅当。

从③ ④可知，当a ∈ [-1，1]∨[-(5/4)，1] = [-(5/4)，-1]，y=f(t)。

因为f(1)、f(-1)、δ等的计算。比较简单，上面的解决方案更简单吗？

第六，换个角度看问题

诗中说:“从山脊一侧看，山峰高低不一。”。我不知道庐山的真面目，但我只在这座山上。“我们以前的解题思维都聚焦在‘方程有实根’上，跳不出‘方程有实根’的如来手掌心。“五”中的解法渗透了数形变换，是一个巧妙的解法。如果换个角度看问题，我们就把方程①的项转化为。

a=cos2x-cosx-1

把A想成X的函数，用逆向思维想:如果X有实数解，就有COSX ∈ [-1，1]，a = [COSX-(1/2)] 2-(5/4)当COSX = (65438+)当cos=-1时，有一个最大值A =(9/4)-(5/4)=1，所以函数另一方面，当A在[-(5/4)，1]中取值时，cosx必须在[-1，1]中取值，X必须有一个实数解与之对应。你看，A的取值范围不是查出来了吗？

七、变体

1989年西游记里的孙悟空神通广大，能变。好的数学题也有一些“变种”。从上面的解决方案中你还能想到什么？可以改编一个相应的题目吗？试试吧。

无独有偶，九年后，新千年元年，2001，最后一题“二。第一年北京中学生数学竞赛的填空题是这样的:“8。如果方程sin2x+sinx+a=0有实数解，求数A的最大值和最小值之和”

读者欣赏这一点，他们会“微笑”吗

八。启迪

回顾上面的解题过程，我们用到了方程的思想，等价变换，数形结合，变换视角，逆向思维。思想赋予智慧，智慧产生巧解，巧解令人陶醉。对比以上解决方案，你得到什么启示？