解决数学问题

27.(山东青岛课改卷)如图①，有两个形状相同的直角三角形ABC和EFG(A点与E点重合)。已知AC = 8 cm，BC = 6 cm，∠C = 90°，EG = 4 cm，∠EGF = 90°，O为△EFG斜边上的中点。

如图②所示，如果整个△EFG从图①中的位置开始，以1cm/s的速度向射线AB方向运动，而△EFG运动，则P点从△EFG的顶点G开始，以1cm/s的速度运动到直角边GF上的点F，当P点到达F点时，P点停止运动，△EFG也停止运动。

(1)什么时候x，OP‖AC的值是多少？

(2)求Y与X的函数关系，确定自变量X的取值范围.

(3)四边形OAHP面积与△ABC面积之比是否存在13∶24的时刻？如果存在，求x的值；如果不存在，说明原因。

(参考数据:1142 = 12996，1152 = 13225，1162 = 13456。

或者4.42 = 19.36，4.52 = 20.25，4.62 = 21.16)

【解法】(1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC

∴ , .

∴fg= = 3厘米。

当p为FG，OP‖EG，EG‖AC的中点时，

∴OP‖AC.

∴ x = = ×3=1.5(s)。

x为1.5s时的∴，op ‖ ac。

(2)在Rt△EFG中，由勾股定理，EF =5cm..

∵EG‖啊，

∴△EFG∽△AFH。

∴ .

∴ .

∴ AH= ( x +5)，FH= (x+5)。

o是OD⊥FP，竖脚是d

点o是EF的中点，

∴OD= EG=2cm。

∫FP = 3-x，

∴S四边形oahp = s △ afh-s △ ofp

= ?啊？FH-？OD？冰点

= ?(x+5)？(x+5)- ×2×(3-x)

= x2+ x+3

(0

(3)假设有某一时刻X，使四边形OAHP面积与△ABC面积之比为13 ∶ 24。

那么s四边形oahp = × s △ ABC

∴ x2+ x+3= × ×6×8

∴6x2+85x-250=0

解是X1 =，X2 =-(截断)。

∫0 < x < 3，

∴当x = (s)时，四边形OAHP面积与△ABC面积之比是13 ∶ 24。

【点评】这个题目是比较常规的动态几何大结局。1题目利用相似知识很容易解决。第二个主题也是基于相似三角形的分辨函数。我想说的是，这个题目讲解的是自变量X的取值范围，很多题往往不写。记住自变量X的值域是分辨函数不可分割的一部分，无论命题人是否承认都必须写出来。第三题只要按照分辨函数列出一个方程就可以写了。

28.(江苏徐州卷)在平面直角坐标系中，已知在直角ABCD中，有棱，有边，AB和AD分别在X轴和Y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合。折叠矩形，使点A落在边DC上，该点是点A落在边DC上的对应点。

(1)当矩形ABCD沿直线折叠时(如图1)，

求点的坐标和b的值；

(2)当矩形ABCD沿直线折叠时，

①求点的坐标(用k表示)；求k和b的关系；

(2)如果我们把折线所在的直线和矩形的位置分开

对于图2、3和4所示的三种情况，

请写下每种情况下K的范围。

(在每种情况下，直接在横线上填写答案)

k的取值范围为；k的取值范围为；k的取值范围为；

【解法】(1)如图5所示，若一条直线在E点与OD相交，在F点与OB相交，则

OE = b，OF = 2b，点的坐标为(a，1)。

因为，，

所以，所以△ ∽△OFE..

所以，就是，所以。

所以点的坐标是(，1)。

那就联系吧。

在Rt△中，根据勾股定理，

即得到解。

(2)如图6所示，如果一条直线在E点与OD相交，在F点与OB相交，则

OE = b，设定点的坐标为(a，1)。

因为。

所以，所以△ ∽△OFE..

所以，就是，所以。

所以点的坐标是(，1)。

链接，在Rt△，，。

因为，

所以。所以。

求解答案6和答案7中的参考分数。

(3)在图13-2中:；

在图13-3中:≤≤；

在图13-4中:

【点评】这是一个关于折叠的问题，主要考察一个函数、四边形、相似形状等知识。问题贯穿了方程和数形结合的思想，请注意自己的经验。

29、(江西课改卷)问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中得到了以下两个命题:

①如图1所示，在正三角形ABC中，m和n分别是AC和AB上的点，BM和CN相交于o点，若∠ bon = 60，BM = CN。

(2)如图2所示，在正方形ABCD中，m和n分别是CD和AD上的点，BM和CN相交于o点，若∠bon = 90°，BM = CN。然后，通过类比提出如下命题:

③如图3所示，在正五边形ABCDE中，m和n分别是CD和DE上的点，BM和CN相交于o点，若∠ bon = 108，BM = CN。

任务要求

(1)请从①、②、③三个命题中任选一个来证明；

(2)请继续完成以下探索:

①如图4所示，在正n(n≥3)多边形ABCDEF…，M和N分别是CD和DE上的点，BM和CN相交于o点，当∠BON等于多少度时，结论BM = CN成立吗？(无需证明)

②如图5所示，在五边形ABCDE中，m和n分别是DE和AE上的点，BM和CN相交于o点，当∠ bon = 108时，结论BM = CN是否仍然成立？如果有，请给出证明；如果没有，请说明原因。

(1)我选。

证明:

【解法】(1)选择命题①

证明:在图1中，∫∠bon = 60，∴∠ CBM+∠ BCN = 60。

∠∠BCN+∠ACN = 60，∴ ∠CBM =∠ACN。

BC = CA，∠ BCM = ∠ CAN = 60，

∴△BCM≔△can。

∴ BM = CN。

选择命题②

证明:在图2中，∫∠bon = 90，∴∠ CBM+∠ BCN = 90。

∠∠BCN+∠DCN = 90，∴ ∠CBM =∠DCN。

BC = CD，∠ BCM = ∠ CDN = 90，

∴△BCM≔△cdn。

∴ BM = CN。

选择命题③

证明:在图3中，∫∠bon = 108，∴∠ CBM+∠ BCN = 108。

∠∠BCN+∠DCN = 108，∴ ∠CBM =∠DCN。

BC = CD，∠ BCM = ∠ CDN = 108，

∴△BCM≔△cdn。

∴ BM = CN。

(2)①当∠BON =时，结论BM = CN成立。

② BM = CN成立。

证明:如图5，连接BD和CE。

在△BCD和△CDE，

BC = CD，∠BCD =∠CDE = 108，CD = DE

∴△BCD≔△CDE。

∴ BD = CE，∠BDC =∠CED，∠DBC =∠ECD。

∠∠OBC+∠OCB = 108，∠OCB +∠OCD = 108，

∴ ∠MBC =∠NCD。

∠∠DBC =∠ECD = 36，∴ ∠DBM =∠ECN。

∴△bdm≔△ECN。

【点评】该题是一个非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思维方法，引导学生由易到难逐步进行。是新课标形势下成熟的压轴题。

30.(辽宁卷)如图，已知以一点为圆心，以长度为半径的圆与另一点相交，一个过点与该点相交，一条直线与该点相交。

(1)验证:一条直线是的切线；

(2)求点的坐标和直线的解析式；

(3)如果有一个点的半径等于的半径，且圆心在轴上移动，若与一条直线相交于两点，是否有这样一个点，使得它是直角三角形？如果有，找出该点的坐标；如果不存在，请说明原因。

[解决方案] (1)证明:连接

和

和

是的正切。

(2)方法①由(1)可知

,

, ①

再次，②

求解(丢弃)或，

直走，两点钟方向。

的解析公式:

解决

直线的解析式为。

方法二:与点相切，

再说一遍，

即①

再次，②

从①到②，得到(丢弃)或

(解的解析表达式同上)。

方法三，

①

与该点相切，

,

,

②

通过① ②求解:，

(解的解析表达式同上)。

(3)存在；

当点在点的左侧时，如果点交叉，

, ,

, ,

,

, ,

当该点在该点的右侧时，设置并穿过该点作为该点，然后

众所周知，和关于点的中心是对称的，根据对称性。

有这样一个点，它是直角三角形，点坐标或者。

【点评】本题为综合传统大结局，难度适中，选择功能强。在解第三个题目时，要注意分类讨论，这是这个题目最容易失分的地方。

31，(沈阳卷，辽宁省)如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别在点和点与轴相交。

(1)在第一象限用一边做一个等边外接圆(用直尺画，不用写字，但保留画痕迹)；

(2)若与轴的另一交点是一个点，求四个点的坐标:、和；

(3)求抛物线过三点的解析式，判断抛物线上是否有点，使的面积等于的面积？如果存在，请直接写出所有合格点的坐标；如果不存在，请说明原因。

【解法】(1)如图，正确作图，保留作图痕迹。

(2)从直线上看，点的坐标为，点的坐标为。

在，，

,

这是一个等边三角形

,

该点的坐标是，链接

这是一个等边三角形

直线是的切线。

该点的坐标为

(3)设抛物线过三点的解析式为

代入上述公式

抛物线的解析式为

有一些点使得的面积等于的面积。

点的坐标是，。

【点评】本题为综合压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识。第三题是比较常规的结论存在性问题，可以利用方程的思想和数形结合的思想来解决。

32.(山东滨州卷)已知抛物线与轴相交于两点，与。

(I)如果是正整数，求抛物线的解析式；

㈡如果是，要获得的数值范围；

(iii)尝试判断是否存在，使通过该点的圆和轴与该点相切，如果存在，求值；如果不存在，尽量说明原因；

(四)如果直线与点相交，与(一)中的抛物线相交于两点，我们来求直线的解析表达式。

【解法】(一)解法一:从题意上看，

求解，。

是正整数，。

解2:从题的意思来说，当，。

(以下同解1)

解决方案3:，

。

又来了。

。

(以下同解。)

解决方案4: make，即，

。

(以下是同解3。)

㈡解决方案1:

，即。

,

。

求解。

的取值范围是。

解决方案二:从问题的含义来看，当，

。

解决方案:。

的取值范围是。

解3:从(I)的解3和解4可知。

,

。

的取值范围是。

㈢存在。

解法一:因为过两点的圆与轴相切，所以两点在轴的同侧。

。

根据切线定理，

也就是说，

。

解法二:将直线与圆心相连，

设一条直线与轴相交于圆心的一点，

然后。

,

。

在，

。

即。

求解。

(四)如果，那么。

通过轴画一条垂直线，垂足分别为。

然后。

所以，从平行线的比例定理，。

因此，也就是。

垂直线通过各自的轴画出，垂直的脚分别是，

然后。因此..

。。

，或者。

当，点。直线，

解决

当，点。直线，

解决

因此，直线的解析式为:，或。

【点评】此题对学生有一定的能力要求，涉及初中数学大部分重点章节的重点知识。是一个很好的问题，具有优秀的选择功能。

33.(山东济宁卷)如图所示，以o为原点的直角坐标系中，a点坐标为(0，1)，直线x=1在b点与x轴相交，p为线段AB上的动点，直线PC⊥PO，交线x=1在c点，过p点MN的直线与x轴平行，与y轴相交于m点，与直线x = 66..

(1)当C点在第一象限时，证明:△OPM≔△PCN；

(2)当C点在第一象限时，设AP的长度为m，四边形POBC的面积为s，求s与m的函数关系，写出自变量m的取值范围；

(3)当P点在线AB上运动时，C点也在线x=1上运动。△PBC有可能变成等腰三角形吗？如果可能，求能使△PBC成为等腰直角三角形的所有点P的坐标；如果没有，请说明原因。

【解】(1)∫OM‖BN，MN‖OB，∠AOB=900，

∴四边形OBNM是矩形。

∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900

∫，AO=BO=1，

∴AM=PM。

∴om=oa-am=1-am,pn=mn-pm=1-pm

∴OM=PN

∫∠OPC = 900

∴∠OPM+CPN=900

∠∠OPM+∠POM = 900。

∴∠CPN=∠POM

∴△OPM≌△PCN

(2)∵AM=PM=APsin450=

∴NC=PM=

∴BN=OM=PN=1-

∴BC=BN-NC=1- - =

(3)△PBC可能是等腰三角形。

①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P (0，1)。

②当C点在第四象限且PB=CB时，

有bn = pn = 1-

∴BC=PB= PN= -m

∴NC=BN+BC=1- + -m

从⑵: NC=PM=

∴1- + -m=

∴m=1

∴PM= =，BN=1- =1-

∴P(，1-)

∴△PBC为等腰三角形的点p的坐标为(0，1)或(1-)。

【点评】此题设计精妙，在坐标系中考查几何知识。1题运用了相似等几何知识，不难证明。第二题需要利用1题的结论建立分辨函数。第三个问题需要分门别类讨论，利用方程思想就可以得出答案。

34.(山西卷)如图，已知抛物线与坐标轴的交点为，，。

(1)求关于原点对称的抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别相交于两点(点在点的左侧)，顶点为，四边形的面积为。如果该点是一个点，该点将以每秒1个单位的速度在水平方向上分别向右和向左移动；与此同时，点和点以每秒2个单位的速度在固定方向上下移动，直到点和点重合。求四边形的面积与运动时间的关系，写出自变量的范围。

(3)当值为时，四边形的面积有一个最大值，求这个最大值；

(4)四边形在运动过程中能形成矩形吗？如果是，求此时的值；如果没有，请说明原因。

【解法】(1)点、点、点关于原点的对称点分别为，，。

设抛物线的解析式为

,

规则

解决

所以抛物线的解析式是。

(2)可由(1)计算的点数。

如果你工作太努力，你会失去你的脚。

当该锻炼的时候。

根据中心对称的性质，四边形就是平行四边形。

所以。

所以四边形的面积。

因为它移动直到点与点重合，按照题的意思。

因此，关系为，取值范围为。

(3) ,( ).

所以有一个最大值。

提示:也可以使用顶点坐标的公式。

(4)四边形在运动过程中可以形成矩形。

根据(2)，四边形是平行四边形，对角线是矩形。

所以。所以。

因此，获得解决方案(放弃)。

所以四边形在运动过程中可以形成一个长方形，这个时候。

【点评】本题以二次函数为基础，结合动力学问题、存在性问题、极大值问题。是更传统的压轴，对能力要求更高。

35.(四川课改卷)如图，在平面直角坐标系中，已知一点，，是轴下的一个正方形，该点是线段的外接圆与正方形除点之外的另一个交点，在该点处连接相交。

(1)验证:；

(2)设直线为边的中垂线，与点相交。如果是外中心，试求抛物线过三点的解析表达式；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否有一点使得该点关于直线的对称点在轴上？如果存在，找出所有这样的点的坐标；如果不存在，请说明原因。

【解决方案】(1)总而言之，

四边形是正方形。

再说一遍，

。

(2)从(1)，有分。

对，在外面，在中垂线上。

该点也在垂直平分线上。

它是一个等腰三角形。

而且，

。

。

设抛物线过三点的解析表达式为。

抛物线交叉点，...①

将点的坐标代入①，就得到

即时解决方案

抛物线的解析表达式为。②.

(3)假设抛物线上有一点，使该点关于直线的对称点在轴上。

是的，平分线，

关于直线的轴上的点的对称点一定在直线上，

也就是说，一个点是一条抛物线和一条直线的交点。

设直线的解析表达式为，且直线与轴相交于一点，则为等腰直角三角形。

。。

把点和点代入，你就得到。

直线的解析表达式为。

如果你设立了一个点，你将拥有它。

将③代入②得到，

，即。

。

求解或。

当，；

当，。

抛物线上有点，它们关于直线的对称点都在轴上。

【点评】这个问题有些难，比较全面，有创新。第三题有些难，需要一定的能力。需要冷静分析问题的含义，找到切入点。

36.(浙江卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过a点(-2，0)和b点(0，0)，直线l2的函数表达式为:l1和l2的交点是一个运动圆，中心P.⊙CM⊥x在直线l1上运动。

(1)填空:直线l1的函数表达式是交点P的坐标为，FPB的次数∠为；

(2)当⊙C与直线l2相切时，请证明P点到直线CM的距离等于⊙C的半径R，写出R=时A的值。

(3)当⊙C不与直线l2分离时，已知⊙C的半径r，四边形的面积NMOB为s(其中N点为直线CM与l2的交点)。s有最大值吗？如果存在，找出最大值和此时a的值；如果不存在，请说明原因。

【解法】(1) P(1，)60？

(2)设⊙C与直线l2相切，如图a，d为切点，CD ⊥ PD相连。

交点p是CM的竖PG，竖脚是g，那么Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30？，CP=PC)，所以pg = CD = R。

当C点在光线PA上且≥C与l2线相切时，同样可以证明。

当R=，a=1+R=，

或者a =-(r-1)。

(3)当⊙C不脱离直线l2时，由(2)可知，分两种情况讨论:

①如图B所示，当0≤a≤时，

,

当(a≤)时，s有最大值。这时，

(或者)。

②当≤ A < 0时，很明显⊙C与直线l2相切，S最大。这时，

。

结合上面的①和②，当或时，S有一个最大值，其最大面积为

【点评】这个题目也比较新颖，符合新课标的理念，揭示了求最大值的一般方法，而且这个题目的难度设置也比较合适，让学生有发挥自己能力的空间。

37.(广东课改卷)如图，平面直角坐标中，四边形OABC为等腰梯形，BC‖OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60，点P为X轴上的动点，与点0和点a不重合，连接CP，交点P为PD。

(1)求B点的坐标；

(2)当P点移动到什么位置时，△OCP是等腰三角形，求P点此时的坐标；

(3)当P点移动时，设∠CPD=∠OAB，且=，求P点此时的坐标。

【解法】(1)设BQ⊥x轴在q .

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴∠BAQ=∠COA=60

在rt δ bqa中，BA=4，

∴BQ=AB？sin∠BAO=4×sin60 =

AQ=AB？cos∠BAO=4×cos60 =2，

∴OQ=OA-AQ=7-2=5

b点在第一象限，

∴b点的坐标是(5，)

(2)如果δδOCP是等腰三角形，∵∠ COP = 60，

此时，δδOCP是一个等边三角形或等腰三角形，顶角为120。

如果δOCP是等边三角形，OP=OC=PC=4，P点在X轴的正半轴上

∴点p的坐标是(4，0)

如果δOCP是一个顶角为120的等腰三角形，那么P点在X轴的负半轴上，OP=OC=4。

∴点p的坐标是(-4，0)。

∴点p的坐标是(4，0)或(-4，0)。

(3)如果∠CPD=∠OAB

∠∠CPA =∠OCP+∠COP

并且∠ OAB = ∠ COP = 60，

∴∠OCP=∠DPA

这时，δOCP≈δADP。

∴

∵

∴ ,

AD=AB-BD=4- =

AP=OA-OP=7-OP

∴

Get OP=1或6。

∴点p的坐标是(1，0)或(6，0)。

【点评】本题是动态几何的压轴题，重点在于学生的分类思路，是一个很好的压轴题，有很好的区分度。

38.(广东肇庆卷)关于和的两个二次函数已知；当，；而二次函数像的对称轴是一条直线。

(1);

(2)求函数的表达式；

(3)在同一个直角坐标系中，函数的像和函数的像有交集吗？请说明原因。

[解决方案] (1)由

是的。

因为当，也就是说，

解，或(舍入)，所以值为。

②由，得到，

所以函数图像的对称轴是，

所以，有一个解决方案，

所以。

(3)从，函数的像是一条抛物线，开口向下，顶点坐标为；

从，函数的像是一条抛物线，开口向上，顶点坐标为；

因此，在同一个直角坐标系中，函数的像与对方的像没有交集。

【点评】此题为函数压轴题，主要考查二次函数的性质和方程。因为比较难说，所以在解第三题的时候要学会画图，可以直观的看到它们是否有交集，并加以解释。

39.(广西南宁课改卷)南博汽车城销售某型车，每辆车进价25万元。市场调研显示，销售价格为29万元时，平均每周能卖出8辆车，销售价格降低5000元时，平均每周能多卖出4辆车。如果每辆车降价10000元，那么每辆车的销售利润就是10000元。(销售利润销售价格采购价格)

(1)和的函数关系；在保证商家不赔钱的前提下，写出取值范围；

(2)假设这种车的平均周销售利润为10000元，试写出和之间的函数关系；

(3)当每辆车的价格为几万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？

[解决方案] (1)

(2)

什么时候，

价格1万元时，最高利润50万元。

或者:什么时候

当价格为1万元时，有一个最大利润，最大利润为50万元。

【点评】本题是二次函数的应用，与实际生活结合紧密，考察学生的应用能力不是很难。

40.(广西玉林卷)在矩形中，以坐标原点和直线为轴，建立直角坐标系。然后围绕该点逆时针旋转矩形，使该点落在轴的点上，然后求和点依次落在第二象限的点上和轴的点上(如图)。

(1)求通过三点的二次分辨函数；

(2)让直线与(1)的二次函数像在另一点相交，求四边形的周长。

(3)设二次函数图像上的一点为(1)，求该点的坐标。

【解决方法】(1)解决方法:从问题的意思可以看出，

, , .

假设三点之后的第二个分辨函数是。

代入，得0.3分。

所寻求的第二个解析函数是:

。

(2)解法:根据题意，四边形是长方形。

还有。

直线和二次函数图像的交点的坐标是，

。

关于抛物线对称，

。

四边形的周长

。

(3)解1:将相交轴设在。

,

,

即。

，所以。

设直线的解析式为。

替代品，替代品，

获得解决方案

。

联合线性和二次分解函数方程组

解或(这组数字是点坐标)

所需的点坐标为。

解决方案2:行动过度是基于。从，又从。

设该点的横坐标为，纵坐标为。

, ,

。

,

,

。

解决它，得到它或得到它。

它是原方程的根。它是原方程的一个附加根，所以应该丢弃。

当，。

所需的点坐标为。

【点评】这道题比较全面，要考查的知识点比较多，但是解法也比较多，很容易入题。