高考函数与不等式压轴

“数学之美”会员448755083为你解答！

f(x) = xe^(-x)

f '(x)= e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x)

∫x > 1

∴1-x<0

并且e (-x) > 0。

∴f'(x)=(1-x)e^(-x)<0

即f(x)在(1，+∞)处是单调递减函数。

f(1)=1/e

也就是总有f (x) < 1，+∞)。

要使f(x)≤g(x)成立(1，+∞)，只需要g(x)的最小值大于等于1/e即可。

g(x)=a(x-1)？+1-a

1当a=0时，G (x) = 1 > 1/E成立，所以a = 0满足题意；

2当a < 0时，g(x)是开口向下的抛物线，在(1，+∞)上趋近负无穷大，所以没有最小值，所以不满足题意。

3当a > 0时，g(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x=1。所以可以看出g(x)在(1，+∞)处不存在最小值，因为它的最小值不能取为g (1) = 65438+。

综上所述，a的取值范围是[0，(e-1)/e]。

一般来说，有两种方法可以解决这样的函数不等式问题:

1.构造一个新的函数求最大值，比如设u(x)=f(x)-g(x)，原命题等价于u(x)≤0在(1，+∞)上是常数，然后对u(x)求导求最大值或者在特殊情况下使用均值不等式。

2.固定支架法。一般来说，函数不等式的压轴题是有可变参数的，所以我们一般可以找出其中一个函数的值的范围，然后按照题目的要求进行。比如f(x)的值域很容易找到，所以如果g(x)大于f(x)，只需要g(x)的最小值大于f(x)即可。

一般来说，不管用什么方法，带参数的题目一般都需要讨论，分类讨论的思想是中学数学必须掌握的方法。

如果满意，请采纳同意！

如果不满意，请反馈询问！