三维几何重复:如何证明空间的直线和平面是垂直的？

“线-线垂直度”:包括两种情况:* *平面垂直度和不同平面垂直度。

“直线和平面是垂直的”

“面对面垂直”

这三种纵向关系可以相互转化。

(1)从线面可以推断线面是垂直的。这是一个线与平面垂直的判定定理，也是一个常规操作。

(2)从线-面垂直度可以推断线是垂直的。这就是线与平面垂直的判定定理。

(3)从垂直线和平面也可以推断出平面是垂直的。

(4)从垂直面可以推断线面是垂直的。

(5)另外，借助于线-线平行度，可以由线-面垂直度推导出新的线-面垂直度；两组直线是垂直的(同一平面不同于直线)，可以推断直线是平行的；从两组直线和平面垂直(同一直线不同平面)可以推断平面平行。

破解要点

解决这个问题的关键如下:

(1)可以从三行的组合中推导出来:

(2)是等腰直角三角形；由此，我们可以推出:，并进一步得出:，

(3)它是等腰三角形；做一个中点，把它们连接起来。根据三条线的组合，我们可以推导出:，这样就有:平面、

总结一下，有两条路线可以推出来做垂直；在这两条路线中，“三合一”起到了关键作用。

破解要点

通过分析本题的已知条件，可以看出本题的模型与2007年海南论文18高度相似，其特点如下:

一个是正三角形，一个是等腰直角三角形；是等腰三角形；

是直角三角形；

如果连接，那么

所以证明直线是垂直的必要元素都收集到了:。

等腰三角形的“三线合一”是解决这个问题的关键。

破解要点

“要证明线是垂直的，先证明线是垂直的。”

几何图形的形状和大小在平移和翻转后不发生变化。

在图1中，是直角；在图2中，它是一个直角，

“从垂直线到垂直线”:

”从线平面垂直推动线”:

“那么，线是垂直的，线面是垂直的”:

平面；

破解要点

由线-线垂直度推导线-面垂直度是一种常用的方法。这种方法的要求是从平面上找出两条相交的直线垂直于待证明的直线。

在这个问题中，证明相对容易:

这是一颗钻石

在上述过程中，从线-线垂直度推导出线-面垂直度，然后推导出新的线-线垂直度。

让我们再找一对垂直的线。

通过观察，我们发现很多线段的长度都是在已知条件下给出的。

根据勾股定理，很容易计算出:

记住交点是一个点，那么

所以我得出结论，

至此，证明直线垂直度所需的两对直线垂直度收集完毕。

这道题的特点是:“一对直线和直线互相垂直；联络线的另一种垂直关系是由三角形的相似关系推导出来的。”

注:有理数与文献数的问题1完全相同。

破解要点

它是一个长方体

；

平面；

1问题的证明过程可以概括如下:

“从垂直线到垂直线；线面垂直推出线垂直；线是垂直的，线是垂直的。”

破解要点

从表面垂线和线垂线，推导出线垂线:

然后将线垂直推出:

平面；

这个问题的要点可以概括为:“从垂直面到垂直面，线是垂直的；该线与线表面垂直；然后线是垂直的，线是垂直的。”

破解要点

为了证明直线是垂直的，两对直线是垂直的:

(1)是从钻石的性质推导出来的:

(2)

以上两对垂直关系实际上是由菱形的对角线互相垂直这一事实推导出来的。

破解要点

为了证明直线是垂直的，两对直线是垂直的。

一对是从“钻石本性”中获得的；

另一对是从勾股定理的逆定理推导出来的。

破解要点

仔细观察会发现，这个模型中有许多正三角形，其中最重要的有:

首先，我们来画个人。注意这是一个正三角形，

根据勾股定理，我们可以推导出:

注意这个问题的模型有很强的对称性，

所以，

因此

因为它是正三角形，

根据勾股定理的逆定理:

同样可以证明:

从而推断出线平面是垂直的:平面。

注:在上述过程中，我们实际上已经推导出了以下事实:它是一个正三角形，而不是三个等腰直角三角形。四面体是大家比较熟悉的四面体，在前几年的高考数学中出现过多次:

2016全国卷A题18

2019全国卷数学数学A题12

“熟悉车型特点，再联系之前的经验”，所以回答问题2不再困难。