解析几何的常用方法:平方差分法(点差分法)
当涉及到圆锥曲线与弦的关系时，这个公式往往效果很好。此外，该方法适用于各种圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
点差法以及由点差法导出的一些常见结论，属于高考数学中的高频考点，一定要重视。
表示椭圆上的两个不同点。
将两个表达式相减，得到:
当然，也可以写成:
其中代表弦的中点。
解释公式
上面的公式可以用文字解释如下:
这是一个重要且常用的结论，也是一个高频考点。
真题示例
2015全国卷二中直接将上述常用结论的推导过程作为试题。参见:
2015全国卷B题20
还有更多问题，需要在求解过程中应用上述结论:
2010全国试卷题目20
2010数学数学全国论文20
2013全国卷B题第20题
2020年全国理科数学卷a题20
抛物线方程:
因为两点在一条抛物线上，
,
如果中点是，那么
或者:
解释公式
上述公式可以用文字表示如下:
对于以轴为对称轴的抛物线，以下结论成立:
(1)抛物线的弦的斜率与弦的中点的坐标的乘积等于焦距。
(2)同一组平行弦(斜率相等)，其中点位于垂直于轴的同一条直线上。
(3)根据抛物线的弦的斜率，可以计算出弦的坐标；反之亦然。
真题示例
2018数学全国卷B题20
2017全国理科数学卷C题20
1987国考试题21
抛物线方程:
因为两点在一条抛物线上，
,
如果中点是，那么
或者:
解释公式
上述公式可以用文字表示如下:
解释公式
上述公式可以用文字表示如下:
对于以轴为对称轴的抛物线，以下结论成立:
(1)抛物线的弦的斜率与弦的中点的坐标的乘积等于焦距。
(2)同一组平行弦(斜率相等)，其中点位于垂直于轴的同一条直线上。
(3)根据抛物线的弦的斜率，可以计算出弦的坐标；反之亦然。
真题示例
2017全国卷A题20
如果圆的方程式是:
圆上有两个点，中点是，那么
也就是说，实际上竖径定理是用解析的方法得到的。
如图，抛物线方程为:，是抛物线的弦。如果弦的斜率保持不变，向左移动，其中点的坐标不变，同时三点不断靠近，最终成为一点。这时候直线和抛物线只有一个共同点，直线也会从抛物线的弦变成切线。
换句话说，如果你做一条平行于切线的弦，弦中点的坐标等于切点的坐标。
如果切线坐标为，则
切线的方程式是:
同理，如果抛物线的方程为:，那么
切线的方程式是:
平方差法能起到什么作用？
平方差法(点差法)的作用，简单来说就是把弦的斜率与弦的中点坐标联系起来，可以解决的问题有很多:
(1)弦长问题
(2)求弦中点的轨迹方程。
(3)求弦的斜率范围。
(4)求切线的方程。
(5)定点问题
从前面的真题可以看出，这种方法在高考中运用的机会很多。