2014考研线代真题

如果两个向量组中至少有一个是零向量，就很容易证明结论。因此，假设两个向量组不都是零向量，即两个向量组的秩都大于零。设α I1，α IK为第一群的极大独立群，βj1，...，gjl是第二个群的最大独立群，那么这两个向量群根据内积的线性性质，可以得出每个αie正交于每个βjf，两个最大不相关群用Schmidt正交化方法正交化得到ξi1，...，ξik；ηj1，...，ηjl，两组向量之间的正交性保持不变，这k+1个向量是一个大的正交向量组，所以是线性无关的。根据最大独立群与原向量群的关系(等价就是相互表示)和正交向量群与原向量群等价的结论，可知这个正交向量群等价于原两个向量群组成的向量群，所以秩相等，即r(。β1,...，βt)=r(ξi1+...+ξik+ηj1+...+ηjl)=k+l=r(a1，...，αs)+r(β1，...，βt).